Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} - 4$ , $y = 2$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$x^{2} - 4 = 2$

Paso 1.2

Resuelve $x^{2} - 4 = 2$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.2.1.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 2 + 4$

Paso 1.2.1.2

Suma $2$ y $4$ .

$x^{2} = 6$

Paso 1.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{6}$

Paso 1.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{6}$

Paso 1.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{6}$

Paso 1.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Paso 1.3

Sustituye $\sqrt{6}$ por $x$ .

$y = 2$

Paso 1.4

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\sqrt{6}, 2)$

$(- \sqrt{6}, 2)$

$(\sqrt{6}, 2)$

$(- \sqrt{6}, 2)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 2 d x - \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} x^{2} - 4 d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $- \sqrt{6}$ y $\sqrt{6}$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 2 - (x^{2} - 4) d x$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 - x^{2} - - 4$

Paso 3.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$2 - x^{2} + 4$

$\int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 2 - x^{2} + 4 d x$

Paso 3.3

Suma $2$ y $4$ .

$\int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} - x^{2} + 6 d x$

Paso 3.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} - x^{2} d x + \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 6 d x$

Paso 3.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} x^{2} d x + \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 6 d x$

Paso 3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}}) + \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 6 d x$

Paso 3.7

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}}) + \int_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}} 6 d x$

Paso 3.8

Aplica la regla de la constante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}}) + 6 x]_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}}$

Paso 3.9

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.9.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.9.1.1

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $\sqrt{6}$ y en $- \sqrt{6}$ .

$- ((\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3}) - \frac{{(- \sqrt{6})}^{3}}{3}) + 6 x]_{- \sqrt{6}}^{\sqrt{6}}$

Paso 3.9.1.2

Evalúa $6 x$ en $\sqrt{6}$ y en $- \sqrt{6}$ .

$- (\frac{{\sqrt{6}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{6})}^{3}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Paso 3.9.1.3

Simplifica.

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Paso 3.9.1.3.1

Reescribe ${\sqrt{6}}^{3}$ como $\sqrt{6^{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{6^{3}}}{3} - \frac{{(- \sqrt{6})}^{3}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Paso 3.9.1.3.2

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{{(- \sqrt{6})}^{3}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Paso 3.9.1.3.3

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{6}$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{{(- (\sqrt{6}))}^{3}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Paso 3.9.1.3.4

Aplica la regla del producto a $- (\sqrt{6})$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{6}}^{3}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Paso 3.9.1.3.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{- {\sqrt{6}}^{3}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Paso 3.9.1.3.6

Reescribe ${\sqrt{6}}^{3}$ como $\sqrt{6^{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{- \sqrt{6^{3}}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Paso 3.9.1.3.7

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - \frac{- \sqrt{216}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Paso 3.9.1.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} - - \frac{\sqrt{216}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Paso 3.9.1.3.9

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} + 1 \frac{\sqrt{216}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Paso 3.9.1.3.10

Multiplica $\frac{\sqrt{216}}{3}$ por $1$ .

$- (\frac{\sqrt{216}}{3} + \frac{\sqrt{216}}{3}) + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Paso 3.9.1.3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{\sqrt{216} + \sqrt{216}}{3} + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Paso 3.9.1.3.12

Suma $\sqrt{216}$ y $\sqrt{216}$ .

$- \frac{2 \sqrt{216}}{3} + 6 \sqrt{6} - 6 (- \sqrt{6})$

Paso 3.9.1.3.13

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$- \frac{2 \sqrt{216}}{3} + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6}$

Paso 3.9.1.3.14

Suma $6 \sqrt{6}$ y $6 \sqrt{6}$ .

$- \frac{2 \sqrt{216}}{3} + 12 \sqrt{6}$

Paso 3.9.2

Simplifica.

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Paso 3.9.2.1

Reescribe $216$ como $6^{2} \cdot 6$ .

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Paso 3.9.2.1.1

Factoriza $36$ de $216$ .

$- \frac{2 \sqrt{36 (6)}}{3} + 12 \sqrt{6}$

Paso 3.9.2.1.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$- \frac{2 \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{3} + 12 \sqrt{6}$

Paso 3.9.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$- \frac{2 (6 \sqrt{6})}{3} + 12 \sqrt{6}$

Paso 3.9.2.3

Multiplica $6$ por $2$ .

$- \frac{12 \sqrt{6}}{3} + 12 \sqrt{6}$

Paso 3.9.2.4

Cancela el factor común de $12$ y $3$ .

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Paso 3.9.2.4.1

Factoriza $3$ de $12 \sqrt{6}$ .

$- \frac{3 (4 \sqrt{6})}{3} + 12 \sqrt{6}$

Paso 3.9.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.9.2.4.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$- \frac{3 (4 \sqrt{6})}{3 (1)} + 12 \sqrt{6}$

Paso 3.9.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{3 (4 \sqrt{6})}{3 \cdot 1} + 12 \sqrt{6}$

Paso 3.9.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{4 \sqrt{6}}{1} + 12 \sqrt{6}$

Paso 3.9.2.4.2.4

Divide $4 \sqrt{6}$ por $1$ .

$- (4 \sqrt{6}) + 12 \sqrt{6}$

Paso 3.9.2.5

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$- 4 \sqrt{6} + 12 \sqrt{6}$

Paso 3.9.2.6

Suma $- 4 \sqrt{6}$ y $12 \sqrt{6}$ .

$8 \sqrt{6}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$8 \sqrt{6}$

Forma decimal:

$19.59591794 \dots$

Paso 5