Cálculo Ejemplos

$y = e^{x}$ , $y = - 2 x^{2} - 7 x$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$e^{x} = - 2 x^{2} - 7 x$

Paso 1.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x \approx - 3.49566195, - 0.13025761 + y = - 2 x^{2} - 7 x$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = - 3.49566195$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $- 3.49566195$ por $x$ .

$y = - 2 {(- 3.49566195)}^{2} - 7 \cdot - 3.49566195$

Paso 1.3.2

Sustituye $- 3.49566195$ por $x$ en $y = - 2 {(- 3.49566195)}^{2} - 7 \cdot - 3.49566195$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = - 2 {(- 3.49566195)}^{2} - 7 \cdot - 3.49566195$

Paso 1.3.2.2

Simplifica $- 2 {(- 3.49566195)}^{2} - 7 \cdot - 3.49566195$ .

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Paso 1.3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.2.1.1

Eleva $- 3.49566195$ a la potencia de $2$ .

$y = - 2 \cdot 12.21965251 - 7 \cdot - 3.49566195$

Paso 1.3.2.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $12.21965251$ .

$y = - 24.43930503 - 7 \cdot - 3.49566195$

Paso 1.3.2.2.1.3

Multiplica $- 7$ por $- 3.49566195$ .

$y = - 24.43930503 + 24.46963369$

Paso 1.3.2.2.2

Suma $- 24.43930503$ y $24.46963369$ .

$y = 0.03032866$

Paso 1.4

Evalúa $y$ cuando $x = - 0.13025761$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye $- 0.13025761$ por $x$ .

$y = - 2 {(- 0.13025761)}^{2} - 7 \cdot - 0.13025761$

Paso 1.4.2

Sustituye $- 0.13025761$ por $x$ en $y = - 2 {(- 0.13025761)}^{2} - 7 \cdot - 0.13025761$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = - 2 {(- 0.13025761)}^{2} - 7 \cdot - 0.13025761$

Paso 1.4.2.2

Simplifica $- 2 {(- 0.13025761)}^{2} - 7 \cdot - 0.13025761$ .

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Paso 1.4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.2.1.1

Eleva $- 0.13025761$ a la potencia de $2$ .

$y = - 2 \cdot 0.01696704 - 7 \cdot - 0.13025761$

Paso 1.4.2.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $0.01696704$ .

$y = - 0.03393409 - 7 \cdot - 0.13025761$

Paso 1.4.2.2.1.3

Multiplica $- 7$ por $- 0.13025761$ .

$y = - 0.03393409 + 0.91180333$

Paso 1.4.2.2.2

Suma $- 0.03393409$ y $0.91180333$ .

$y = 0.87786924$

Paso 1.5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(- 3.49566195, 0.03032866)$

$(- 0.13025761, 0.87786924)$

$(- 3.49566195, 0.03032866)$

$(- 0.13025761, 0.87786924)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - 2 x^{2} - 7 x d x - \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} e^{x} d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $- 3.49566195$ y $- 0.13025761$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - 2 x^{2} - 7 x - (e^{x}) d x$

Paso 3.2

Multiplica $- 1$ por $e^{x}$ .

$\int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - 2 x^{2} - 7 x - e^{x} d x$

Paso 3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - 2 x^{2} d x + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - 7 x d x + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - e^{x} d x$

Paso 3.4

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$- 2 \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} x^{2} d x + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - 7 x d x + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - e^{x} d x$

Paso 3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - 7 x d x + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - e^{x} d x$

Paso 3.6

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - 7 x d x + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - e^{x} d x$

Paso 3.7

Dado que $- 7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 7$ fuera de la integral.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) - 7 \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} x d x + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - e^{x} d x$

Paso 3.8

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) - 7 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - e^{x} d x$

Paso 3.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) - 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) + \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} - e^{x} d x$

Paso 3.10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) - 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) - \int_{- 3.49566195}^{- 0.13025761} e^{x} d x$

Paso 3.11

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) - 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) - (e^{x}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761})$

Paso 3.12

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.12.1

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $- 0.13025761$ y en $- 3.49566195$ .

$- 2 ((\frac{{(- 0.13025761)}^{3}}{3}) - \frac{{(- 3.49566195)}^{3}}{3}) - 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761}) - (e^{x}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761})$

Paso 3.12.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $- 0.13025761$ y en $- 3.49566195$ .

$- 2 (\frac{{(- 0.13025761)}^{3}}{3} - \frac{{(- 3.49566195)}^{3}}{3}) - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - (e^{x}]_{- 3.49566195}^{- 0.13025761})$

Paso 3.12.3

Evalúa $e^{x}$ en $- 0.13025761$ y en $- 3.49566195$ .

$- 2 (\frac{{(- 0.13025761)}^{3}}{3} - \frac{{(- 3.49566195)}^{3}}{3}) - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Paso 3.12.4

Simplifica.

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Paso 3.12.4.1

Eleva $- 0.13025761$ a la potencia de $3$ .

$- 2 (\frac{- 0.00221008}{3} - \frac{{(- 3.49566195)}^{3}}{3}) - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Paso 3.12.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 2 (- \frac{0.00221008}{3} - \frac{{(- 3.49566195)}^{3}}{3}) - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Paso 3.12.4.3

Eleva $- 3.49566195$ a la potencia de $3$ .

$- 2 (- \frac{0.00221008}{3} - \frac{- 42.71577442}{3}) - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Paso 3.12.4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 2 (- \frac{0.00221008}{3} - - \frac{42.71577442}{3}) - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Paso 3.12.4.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- 2 (- \frac{0.00221008}{3} + 1 (\frac{42.71577442}{3})) - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Paso 3.12.4.6

Multiplica $\frac{42.71577442}{3}$ por $1$ .

$- 2 (- \frac{0.00221008}{3} + \frac{42.71577442}{3}) - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Paso 3.12.4.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 2 \frac{- 0.00221008 + 42.71577442}{3} - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Paso 3.12.4.8

Suma $- 0.00221008$ y $42.71577442$ .

$- 2 (\frac{42.71356433}{3}) - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Paso 3.12.4.9

Combina $- 2$ y $\frac{42.71356433}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 42.71356433}{3} - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Paso 3.12.4.10

Multiplica $- 2$ por $42.71356433$ .

$\frac{- 85.42712867}{3} - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Paso 3.12.4.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{85.42712867}{3} - 7 (\frac{{(- 0.13025761)}^{2}}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Paso 3.12.4.12

Eleva $- 0.13025761$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{85.42712867}{3} - 7 (\frac{0.01696704}{2} - \frac{{(- 3.49566195)}^{2}}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Paso 3.12.4.13

Eleva $- 3.49566195$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{85.42712867}{3} - 7 (\frac{0.01696704}{2} - \frac{12.21965251}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Paso 3.12.4.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{85.42712867}{3} - 7 \frac{0.01696704 - 12.21965251}{2} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Paso 3.12.4.15

Resta $12.21965251$ de $0.01696704$ .

$- \frac{85.42712867}{3} - 7 (\frac{- 12.20268546}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Paso 3.12.4.16

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{85.42712867}{3} - 7 (- \frac{12.20268546}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Paso 3.12.4.17

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$- \frac{85.42712867}{3} + 7 (\frac{12.20268546}{2}) - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Paso 3.12.4.18

Combina $7$ y $\frac{12.20268546}{2}$ .

$- \frac{85.42712867}{3} + \frac{7 \cdot 12.20268546}{2} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Paso 3.12.4.19

Multiplica $7$ por $12.20268546$ .

$- \frac{85.42712867}{3} + \frac{85.41879828}{2} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Paso 3.12.4.20

Para escribir $- \frac{85.42712867}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{85.42712867}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{85.41879828}{2} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Paso 3.12.4.21

Para escribir $\frac{85.41879828}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{85.42712867}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{85.41879828}{2} \cdot \frac{3}{3} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Paso 3.12.4.22

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.12.4.22.1

Multiplica $\frac{85.42712867}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{85.42712867 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{85.41879828}{2} \cdot \frac{3}{3} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Paso 3.12.4.22.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$- \frac{85.42712867 \cdot 2}{6} + \frac{85.41879828}{2} \cdot \frac{3}{3} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Paso 3.12.4.22.3

Multiplica $\frac{85.41879828}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{85.42712867 \cdot 2}{6} + \frac{85.41879828 \cdot 3}{2 \cdot 3} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Paso 3.12.4.22.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$- \frac{85.42712867 \cdot 2}{6} + \frac{85.41879828 \cdot 3}{6} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Paso 3.12.4.23

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 85.42712867 \cdot 2 + 85.41879828 \cdot 3}{6} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Paso 3.12.4.24

Multiplica $- 85.42712867$ por $2$ .

$\frac{- 170.85425735 + 85.41879828 \cdot 3}{6} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Paso 3.12.4.25

Multiplica $85.41879828$ por $3$ .

$\frac{- 170.85425735 + 256.25639484}{6} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Paso 3.12.4.26

Suma $- 170.85425735$ y $256.25639484$ .

$\frac{85.40213748}{6} - ((e^{- 0.13025761}) - e^{- 3.49566195})$

Paso 3.12.4.27

Para escribir $- (e^{- 0.13025761} - e^{- 3.49566195})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{85.40213748}{6} - (e^{- 0.13025761} - e^{- 3.49566195}) \cdot \frac{6}{6}$

Paso 3.12.4.28

Combina $- (e^{- 0.13025761} - e^{- 3.49566195})$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{85.40213748}{6} + \frac{- (e^{- 0.13025761} - e^{- 3.49566195}) \cdot 6}{6}$

Paso 3.12.4.29

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{85.40213748 - (e^{- 0.13025761} - e^{- 3.49566195}) \cdot 6}{6}$

Paso 3.12.4.30

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{85.40213748 - 6 (e^{- 0.13025761} - e^{- 3.49566195})}{6}$

Paso 3.13

Simplifica.

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Paso 3.13.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.13.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.13.1.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{85.40213748 - 6 (\frac{1}{e^{0.13025761}} - e^{- 3.49566195})}{6}$

Paso 3.13.1.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{85.40213748 - 6 (\frac{1}{e^{0.13025761}} - \frac{1}{e^{3.49566195}})}{6}$

Paso 3.13.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{85.40213748 - 6 \frac{1}{e^{0.13025761}} - 6 (- \frac{1}{e^{3.49566195}})}{6}$

Paso 3.13.1.3

Combina $- 6$ y $\frac{1}{e^{0.13025761}}$ .

$\frac{85.40213748 + \frac{- 6}{e^{0.13025761}} - 6 (- \frac{1}{e^{3.49566195}})}{6}$

Paso 3.13.1.4

Multiplica $- 6 (- \frac{1}{e^{3.49566195}})$ .

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Paso 3.13.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$\frac{85.40213748 + \frac{- 6}{e^{0.13025761}} + 6 \frac{1}{e^{3.49566195}}}{6}$

Paso 3.13.1.4.2

Combina $6$ y $\frac{1}{e^{3.49566195}}$ .

$\frac{85.40213748 + \frac{- 6}{e^{0.13025761}} + \frac{6}{e^{3.49566195}}}{6}$

Paso 3.13.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{85.40213748 - \frac{6}{e^{0.13025761}} + \frac{6}{e^{3.49566195}}}{6}$

Paso 3.13.1.6

Resta $\frac{6}{e^{0.13025761}}$ de $85.40213748$ .

$\frac{80.13492201 + \frac{6}{e^{3.49566195}}}{6}$

Paso 3.13.1.7

Suma $80.13492201$ y $\frac{6}{e^{3.49566195}}$ .

$\frac{80.316894}{6}$

Paso 3.13.2

Divide $80.316894$ por $6$ .

$13.386149$

Paso 4