Cálculo Ejemplos

$e^{5 x} + e^{- x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{5 x} + e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{5 x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $5 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 1.1.2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 1.1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $5 x$ .

$f' (x) = e^{5 x} \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 1.1.2.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = e^{5 x} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 1.1.2.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$f' (x) = e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 1.1.2.5

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{5 x}$ .

$f' (x) = 5 e^{5 x} + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 1.1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- x$ .

$f' (x) = 5 e^{5 x} + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 1.1.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = 5 e^{5 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 1.1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- x$ .

$f' (x) = 5 e^{5 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 1.1.3.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 5 e^{5 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 5 e^{5 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Paso 1.1.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = 5 e^{5 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Paso 1.1.3.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$f' (x) = 5 e^{5 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Paso 1.1.3.6

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 5 e^{5 x} - e^{- x}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $5 e^{5 x} - e^{- x}$ .

$5 e^{5 x} - e^{- x}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $5 e^{5 x} - e^{- x} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$5 e^{5 x} - e^{- x} = 0$

Paso 2.2

Mueve $- e^{- x}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma en ambos lados.

$5 e^{5 x} = e^{- x}$

Paso 2.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (5 e^{5 x}) = \ln (e^{- x})$

Paso 2.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.4.1

Reescribe $\ln (5 e^{5 x})$ como $\ln (5) + \ln (e^{5 x})$ .

$\ln (5) + \ln (e^{5 x}) = \ln (e^{- x})$

Paso 2.4.2

Expande $\ln (e^{5 x})$ ; para ello, mueve $5 x$ fuera del logaritmo.

$\ln (5) + 5 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Paso 2.4.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\ln (5) + 5 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Paso 2.4.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$\ln (5) + 5 x = \ln (e^{- x})$

Paso 2.5

Expande el lado derecho.

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Paso 2.5.1

Expande $\ln (e^{- x})$ ; para ello, mueve $- x$ fuera del logaritmo.

$\ln (5) + 5 x = - x \ln (e)$

Paso 2.5.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\ln (5) + 5 x = - x \cdot 1$

Paso 2.5.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\ln (5) + 5 x = - x$

Paso 2.6

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.6.1

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$\ln (5) + 5 x + x = 0$

Paso 2.6.2

Suma $5 x$ y $x$ .

$\ln (5) + 6 x = 0$

Paso 2.7

Resta $\ln (5)$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x = - \ln (5)$

Paso 2.8

Divide cada término en $6 x = - \ln (5)$ por $6$ y simplifica.

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Paso 2.8.1

Divide cada término en $6 x = - \ln (5)$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- \ln (5)}{6}$

Paso 2.8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.8.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 2.8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- \ln (5)}{6}$

Paso 2.8.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (5)}{6}$

Paso 2.8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.8.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (5)}{6}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $e^{5 x} + e^{- x}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = - \frac{\ln (5)}{6}$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $- \frac{\ln (5)}{6}$ por $x$ .

$e^{5 (- \frac{\ln (5)}{6})} + e^{- (- \frac{\ln (5)}{6})}$

Paso 4.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1

Reescribe $\frac{\ln (5)}{6}$ como $\frac{1}{6} \ln (5)$ .

$e^{5 (- (\frac{1}{6} \ln (5)))} + e^{- (- \frac{\ln (5)}{6})}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica $\frac{1}{6} \ln (5)$ al mover $\frac{1}{6}$ dentro del algoritmo.

$e^{5 (- \ln (5^{\frac{1}{6}}))} + e^{- (- \frac{\ln (5)}{6})}$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $5 (- \ln (5^{\frac{1}{6}}))$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$e^{- 5 \ln (5^{\frac{1}{6}})} + e^{- (- \frac{\ln (5)}{6})}$

Paso 4.1.2.3.2

Simplifica $- 5 \ln (5^{\frac{1}{6}})$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$e^{- \ln ({(5^{\frac{1}{6}})}^{5})} + e^{- (- \frac{\ln (5)}{6})}$

Paso 4.1.2.4

Simplifica $- \ln ({(5^{\frac{1}{6}})}^{5})$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$e^{\ln ({({(5^{\frac{1}{6}})}^{5})}^{- 1})} + e^{- (- \frac{\ln (5)}{6})}$

Paso 4.1.2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

${({(5^{\frac{1}{6}})}^{5})}^{- 1} + e^{- (- \frac{\ln (5)}{6})}$

Paso 4.1.2.6

Multiplica los exponentes en ${({(5^{\frac{1}{6}})}^{5})}^{- 1}$ .

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Paso 4.1.2.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5^{\frac{1}{6}})}^{5 \cdot - 1} + e^{- (- \frac{\ln (5)}{6})}$

Paso 4.1.2.6.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

${(5^{\frac{1}{6}})}^{- 5} + e^{- (- \frac{\ln (5)}{6})}$

Paso 4.1.2.7

Multiplica los exponentes en ${(5^{\frac{1}{6}})}^{- 5}$ .

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Paso 4.1.2.7.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5^{\frac{1}{6} \cdot - 5} + e^{- (- \frac{\ln (5)}{6})}$

Paso 4.1.2.7.2

Combina $\frac{1}{6}$ y $- 5$ .

$5^{\frac{- 5}{6}} + e^{- (- \frac{\ln (5)}{6})}$

Paso 4.1.2.7.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5^{- \frac{5}{6}} + e^{- (- \frac{\ln (5)}{6})}$

Paso 4.1.2.8

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{5^{\frac{5}{6}}} + e^{- (- \frac{\ln (5)}{6})}$

Paso 4.1.2.9

Reescribe $\frac{\ln (5)}{6}$ como $\frac{1}{6} \ln (5)$ .

$\frac{1}{5^{\frac{5}{6}}} + e^{- - (\frac{1}{6} \ln (5))}$

Paso 4.1.2.10

Simplifica $\frac{1}{6} \ln (5)$ al mover $\frac{1}{6}$ dentro del algoritmo.

$\frac{1}{5^{\frac{5}{6}}} + e^{- - \ln (5^{\frac{1}{6}})}$

Paso 4.1.2.11

Multiplica $- - \ln (5^{\frac{1}{6}})$ .

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Paso 4.1.2.11.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{5^{\frac{5}{6}}} + e^{1 \ln (5^{\frac{1}{6}})}$

Paso 4.1.2.11.2

Multiplica $\ln (5^{\frac{1}{6}})$ por $1$ .

$\frac{1}{5^{\frac{5}{6}}} + e^{\ln (5^{\frac{1}{6}})}$

Paso 4.1.2.12

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\frac{1}{5^{\frac{5}{6}}} + 5^{\frac{1}{6}}$

Paso 4.2

Enumera todos los puntos.

$(- \frac{\ln (5)}{6}, \frac{1}{5^{\frac{5}{6}}} + 5^{\frac{1}{6}})$

Paso 5