Cálculo Ejemplos

$e^{- x} \sin (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{- x}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$f' (x) = e^{- x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 1.1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 1.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Paso 1.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Paso 1.1.4

Diferencia.

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Paso 1.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Paso 1.1.4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.4.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \cdot - 1)$

Paso 1.1.4.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- 1 \cdot e^{- x})$

Paso 1.1.4.3.3

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})$

Paso 1.1.4.3.4

Reordena los términos.

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$ .

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x) = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x) = 0$

Paso 2.2

Factoriza $e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $e^{- x}$ de $e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $e^{- x}$ de $e^{- x} \cos (x)$ .

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x) = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $e^{- x}$ de $- e^{- x} \sin (x)$ .

$e^{- x} \cos (x) + e^{- x} (- 1 \sin (x)) = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $e^{- x}$ de $e^{- x} \cos (x) + e^{- x} (- 1 \sin (x))$ .

$e^{- x} (\cos (x) - 1 \sin (x)) = 0$

Paso 2.2.2

Reescribe $- 1 \sin (x)$ como $- \sin (x)$ .

$e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Paso 2.4

Establece $e^{- x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $e^{- x}$ igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $e^{- x} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Paso 2.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 2.4.2.3

No hay soluciones para $e^{- x} = 0$

No hay solución

Paso 2.5

Establece $\cos (x) - \sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $\cos (x) - \sin (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $\cos (x) - \sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Divide cada término en la ecuación por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 2.5.2.2

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 2.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 2.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 2.5.2.3

Separa las fracciones.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 2.5.2.4

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 2.5.2.5

Divide $- 1$ por $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 2.5.2.6

Separa las fracciones.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 2.5.2.7

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Paso 2.5.2.8

Divide $0$ por $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Paso 2.5.2.9

Multiplica $0$ por $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Paso 2.5.2.10

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \tan (x) = - 1$

Paso 2.5.2.11

Divide cada término en $- \tan (x) = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.11.1

Divide cada término en $- \tan (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.5.2.11.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.11.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.5.2.11.2.2

Divide $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.5.2.11.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.11.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Paso 2.5.2.12

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Paso 2.5.2.13

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.13.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Paso 2.5.2.14

La función tangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Paso 2.5.2.15

Simplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Paso 2.5.2.15.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 2.5.2.15.2

Combina fracciones.

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Paso 2.5.2.15.2.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Paso 2.5.2.15.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Paso 2.5.2.15.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.15.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Paso 2.5.2.15.3.2

Suma $4 π$ y $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Paso 2.5.2.16

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 2.5.2.16.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 2.5.2.16.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 2.5.2.16.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 2.5.2.16.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 2.5.2.17

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.7

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $e^{- x} \sin (x)$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = \frac{π}{4}$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$e^{- (\frac{π}{4})} \sin (\frac{π}{4})$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 4.1.2.2

Combina $e^{- \frac{π}{4}}$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{- \frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.1.2.3

Mueve $e^{- \frac{π}{4}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{π}{4}}}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $\frac{5 π}{4}$ por $x$ .

$e^{- (\frac{5 π}{4})} \sin (\frac{5 π}{4})$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el tercer cuadrante.

$e^{- \frac{5 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Paso 4.2.2.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 4.2.2.3

Combina $e^{- \frac{5 π}{4}}$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.2.2.4

Mueve $e^{- \frac{5 π}{4}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{5 π}{4}}}$

Paso 4.3

Evalúa en $x = \frac{9 π}{4}$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $\frac{9 π}{4}$ por $x$ .

$e^{- (\frac{9 π}{4})} \sin (\frac{9 π}{4})$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$e^{- \frac{9 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Paso 4.3.2.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{9 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 4.3.2.3

Combina $e^{- \frac{9 π}{4}}$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{- \frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.3.2.4

Mueve $e^{- \frac{9 π}{4}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{9 π}{4}}}$

Paso 4.4

Evalúa en $x = \frac{13 π}{4}$ .

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Paso 4.4.1

Sustituye $\frac{13 π}{4}$ por $x$ .

$e^{- (\frac{13 π}{4})} \sin (\frac{13 π}{4})$

Paso 4.4.2

Simplifica.

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Paso 4.4.2.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$e^{- \frac{13 π}{4}} \sin (\frac{5 π}{4})$

Paso 4.4.2.2

$e^{- \frac{13 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Paso 4.4.2.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{13 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 4.4.2.4

Combina $e^{- \frac{13 π}{4}}$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{13 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.4.2.5

Mueve $e^{- \frac{13 π}{4}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{13 π}{4}}}$

Paso 4.5

Evalúa en $x = \frac{17 π}{4}$ .

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Paso 4.5.1

Sustituye $\frac{17 π}{4}$ por $x$ .

$e^{- (\frac{17 π}{4})} \sin (\frac{17 π}{4})$

Paso 4.5.2

Simplifica.

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Paso 4.5.2.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$e^{- \frac{17 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Paso 4.5.2.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{17 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 4.5.2.3

Combina $e^{- \frac{17 π}{4}}$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{- \frac{17 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.5.2.4

Mueve $e^{- \frac{17 π}{4}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{17 π}{4}}}$

Paso 4.6

Enumera todos los puntos.

$(\frac{π}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{π}{4}}}), (\frac{5 π}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{5 π}{4}}}), (\frac{9 π}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{9 π}{4}}}), (\frac{13 π}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{13 π}{4}}}), (\frac{17 π}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{17 π}{4}}})$

Paso 5