Cálculo Ejemplos

$x {(16 - x)}^{3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(16 - x)}^{3}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(16 - x)}^{3}) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 16 - x$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $16 - x$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (16 - x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (16 - x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $16 - x$ .

$f' (x) = x (3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (16 - x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $16 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = x (3 {(16 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} (16) + \frac{d}{d x} (- x))) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.3.2

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = x (3 {(16 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- x))) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = x (3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (- x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (3 {(16 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} x)) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.3.5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = x (- 3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} x) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = x (- 3 {(16 - x)}^{2} \cdot 1) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.3.7

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f' (x) = x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3} \cdot 1$

Paso 1.1.3.9

Multiplica ${(16 - x)}^{3}$ por $1$ .

$f' (x) = x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3}$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Factoriza ${(16 - x)}^{2}$ de $x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3}$ .

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Paso 1.1.4.1.1

Factoriza ${(16 - x)}^{2}$ de $x (- 3 {(16 - x)}^{2})$ .

$f' (x) = {(16 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + {(16 - x)}^{3}$

Paso 1.1.4.1.2

Factoriza ${(16 - x)}^{2}$ de ${(16 - x)}^{3}$ .

$f' (x) = {(16 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + {(16 - x)}^{2} (16 - x)$

Paso 1.1.4.1.3

Factoriza ${(16 - x)}^{2}$ de ${(16 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + {(16 - x)}^{2} (16 - x)$ .

$f' (x) = {(16 - x)}^{2} (x \cdot (- 3) + 16 - x)$

Paso 1.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.4.2.1

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$f' (x) = {(16 - x)}^{2} (- 3 \cdot x + 16 - x)$

Paso 1.1.4.2.2

Resta $x$ de $- 3 x$ .

$f' (x) = {(16 - x)}^{2} (- 4 x + 16)$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es ${(16 - x)}^{2} (- 4 x + 16)$ .

${(16 - x)}^{2} (- 4 x + 16)$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación ${(16 - x)}^{2} (- 4 x + 16) = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

${(16 - x)}^{2} (- 4 x + 16) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(16 - x)}^{2} = 0$

$- 4 x + 16 = 0$

Paso 2.3

Establece ${(16 - x)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece ${(16 - x)}^{2}$ igual a $0$ .

${(16 - x)}^{2} = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve ${(16 - x)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Establece $16 - x$ igual a $0$ .

$16 - x = 0$

Paso 2.3.2.2

Resuelve $x$

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Paso 2.3.2.2.1

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 16$

Paso 2.3.2.2.2

Divide cada término en $- x = - 16$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 16$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Paso 2.3.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Paso 2.3.2.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 16}{- 1}$

Paso 2.3.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.2.2.3.1

Divide $- 16$ por $- 1$ .

$x = 16$

Paso 2.4

Establece $- 4 x + 16$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $- 4 x + 16$ igual a $0$ .

$- 4 x + 16 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $- 4 x + 16 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x = - 16$

Paso 2.4.2.2

Divide cada término en $- 4 x = - 16$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.2.1

Divide cada término en $- 4 x = - 16$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 16}{- 4}$

Paso 2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 16}{- 4}$

Paso 2.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 16}{- 4}$

Paso 2.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.2.3.1

Divide $- 16$ por $- 4$ .

$x = 4$

Paso 2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(16 - x)}^{2} (- 4 x + 16) = 0$ verdadera.

$x = 16, 4$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $x {(16 - x)}^{3}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 16$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $16$ por $x$ .

$(16) {(16 - (16))}^{3}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$16 {(16 - 16)}^{3}$

Paso 4.1.2.2

Resta $16$ de $16$ .

$16 \cdot 0^{3}$

Paso 4.1.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$16 \cdot 0$

Paso 4.1.2.4

Multiplica $16$ por $0$ .

$0$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 4$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$(4) {(16 - (4))}^{3}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$4 {(16 - 4)}^{3}$

Paso 4.2.2.2

Resta $4$ de $16$ .

$4 \cdot 12^{3}$

Paso 4.2.2.3

Eleva $12$ a la potencia de $3$ .

$4 \cdot 1728$

Paso 4.2.2.4

Multiplica $4$ por $1728$ .

$6912$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(16, 0), (4, 6912)$

Paso 5