Cálculo Ejemplos

$f (x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{7}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \frac{1}{x} + \frac{7}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Paso 1.1.1.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Paso 1.1.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{2}}]$ .

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Paso 1.1.1.3.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{7}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Paso 1.1.1.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Paso 1.1.1.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 1.1.1.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Paso 1.1.1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Paso 1.1.1.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Paso 1.1.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Paso 1.1.1.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 1.1.1.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Paso 1.1.1.3.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Paso 1.1.1.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Paso 1.1.1.3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Paso 1.1.1.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Paso 1.1.1.3.9

Resta $4$ de $1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + 7 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Paso 1.1.1.3.10

Multiplica $- 2$ por $7$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Paso 1.1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

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Paso 1.1.1.4.1

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

Paso 1.1.1.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 1.1.1.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{3}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} + \frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})$

Paso 1.1.1.4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}$

Paso 1.1.1.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{3}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}$

Paso 1.1.1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})$

Paso 1.1.1.4.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 1.1.1.4.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})$

Paso 1.1.1.4.4.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - x^{- 6} (3 x^{2})$

Paso 1.1.1.4.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 x^{- 6} x^{2}$

Paso 1.1.1.4.6

Multiplica $x^{- 6}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.1.4.6.1

Mueve $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 (x^{2} x^{- 6})$

Paso 1.1.1.4.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 x^{2 - 6}$

Paso 1.1.1.4.6.3

Resta $6$ de $2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 14 x^{- 3} - 3 x^{- 4}$

Paso 1.1.1.5

Simplifica.

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Paso 1.1.1.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 14 x^{- 3} - 3 x^{- 4}$

Paso 1.1.1.5.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 14 \frac{1}{x^{3}} - 3 x^{- 4}$

Paso 1.1.1.5.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 14 \frac{1}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Paso 1.1.1.5.4

Combina los términos.

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Paso 1.1.1.5.4.1

Resta $\frac{1}{x^{2}}$ de $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - 14 \frac{1}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Paso 1.1.1.5.4.2

Combina $- 14$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 14}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Paso 1.1.1.5.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Paso 1.1.1.5.4.4

Combina $- 3$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

Paso 1.1.1.5.4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{14}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Paso 1.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Paso 1.1.2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Paso 1.1.2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 1.1.2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Paso 1.1.2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = - (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Paso 1.1.2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Paso 1.1.2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Paso 1.1.2.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Paso 1.1.2.2.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 1.1.2.2.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Paso 1.1.2.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Paso 1.1.2.2.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Paso 1.1.2.2.8

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Paso 1.1.2.2.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Paso 1.1.2.2.10

Resta $4$ de $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Paso 1.1.2.2.11

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Paso 1.1.2.2.12

Multiplica $\frac{1}{x^{2}}$ por $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Paso 1.1.2.2.13

Suma $2 x^{- 3}$ y $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{14}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Paso 1.1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{14}{x^{3}}]$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Como $- 14$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{14}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $- 14 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Paso 1.1.2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Paso 1.1.2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 1.1.2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Paso 1.1.2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Paso 1.1.2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Paso 1.1.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Paso 1.1.2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 1.1.2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Paso 1.1.2.3.5.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Paso 1.1.2.3.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Paso 1.1.2.3.7

Multiplica $x^{- 6}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.2.3.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Paso 1.1.2.3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Paso 1.1.2.3.7.3

Resta $6$ de $2$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} - 14 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Paso 1.1.2.3.8

Multiplica $- 3$ por $- 14$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (- \frac{3}{x^{4}})$

Paso 1.1.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{4}}]$ .

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Paso 1.1.2.4.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{3}{x^{4}}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{4}}$

Paso 1.1.2.4.2

Reescribe $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 \frac{d}{d x} {(x^{4})}^{- 1}$

Paso 1.1.2.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{4}$ .

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Paso 1.1.2.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $x^{4}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (\frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Paso 1.1.2.4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ es $n {u_{3}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- {u_{3}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4})$

Paso 1.1.2.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $x^{4}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4})$

Paso 1.1.2.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Paso 1.1.2.4.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.4.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Paso 1.1.2.4.5.2

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Paso 1.1.2.4.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Paso 1.1.2.4.7

Multiplica $x^{- 8}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.4.7.1

Mueve $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Paso 1.1.2.4.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 x^{3 - 8})$

Paso 1.1.2.4.7.3

Resta $8$ de $3$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} - 3 (- 4 x^{- 5})$

Paso 1.1.2.4.8

Multiplica $- 4$ por $- 3$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 42 x^{- 4} + 12 x^{- 5}$

Paso 1.1.2.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 42 x^{- 4} + 12 x^{- 5}$

Paso 1.1.2.5.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 42 (\frac{1}{x^{4}}) + 12 x^{- 5}$

Paso 1.1.2.5.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 42 (\frac{1}{x^{4}}) + 12 (\frac{1}{x^{5}})$

Paso 1.1.2.5.4

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.5.4.1

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 42 (\frac{1}{x^{4}}) + 12 (\frac{1}{x^{5}})$

Paso 1.1.2.5.4.2

Combina $42$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + 12 (\frac{1}{x^{5}})$

Paso 1.1.2.5.4.3

Combina $12$ y $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}}$ .

$\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$

Paso 1.2.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.2.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{3}, x^{4}, x^{5}, 1$

Paso 1.2.2.2

Since $x^{3}, x^{4}, x^{5}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{3}, x^{4}, x^{5}$ .

Paso 1.2.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 1.2.2.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 1.2.2.5

El MCM de $1, 1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 1.2.2.6

Los factores para $x^{3}$ son $x \cdot x \cdot x$ , que es $x$ multiplicada una por la otra $3$ veces.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ ocurre $3$ veces.

Paso 1.2.2.7

Los factores para $x^{4}$ son $x \cdot x \cdot x \cdot x$ , que es $x$ multiplicada una por la otra $4$ veces.

$x^{4} = x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ ocurre $4$ veces.

Paso 1.2.2.8

Los factores para $x^{5}$ son $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ , que es $x$ multiplicada una por la otra $5$ veces.

$x^{5} = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$

$x$ ocurre $5$ veces.

Paso 1.2.2.9

El MCM de $x^{3}, x^{4}, x^{5}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$

Paso 1.2.2.10

Simplifica $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.10.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} \cdot x \cdot x \cdot x$

Paso 1.2.2.10.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.10.2.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.10.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1} \cdot x \cdot x$

Paso 1.2.2.10.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2 + 1} \cdot x \cdot x$

Paso 1.2.2.10.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$x^{3} \cdot x \cdot x$

Paso 1.2.2.10.3

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.10.3.1

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.10.3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{3} \cdot x^{1} \cdot x$

Paso 1.2.2.10.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{3 + 1} \cdot x$

Paso 1.2.2.10.3.2

Suma $3$ y $1$ .

$x^{4} \cdot x$

Paso 1.2.2.10.4

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.10.4.1

Multiplica $x^{4}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.10.4.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{4} \cdot x^{1}$

Paso 1.2.2.10.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{4 + 1}$

Paso 1.2.2.10.4.2

Suma $4$ y $1$ .

$x^{5}$

Paso 1.2.3

Multiplica cada término en $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$ por $x^{5}$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Multiplica cada término en $\frac{2}{x^{3}} + \frac{42}{x^{4}} + \frac{12}{x^{5}} = 0$ por $x^{5}$ .

$\frac{2}{x^{3}} x^{5} + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.1.1.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{5}$ .

$\frac{2}{x^{3}} (x^{3} x^{2}) + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Paso 1.2.3.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{2}{x^{3}} (x^{3} x^{2}) + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Paso 1.2.3.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$2 x^{2} + \frac{42}{x^{4}} x^{5} + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela el factor común de $x^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $x^{4}$ de $x^{5}$ .

$2 x^{2} + \frac{42}{x^{4}} (x^{4} x) + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 x^{2} + \frac{42}{x^{4}} (x^{4} x) + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$2 x^{2} + 42 x + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Paso 1.2.3.2.1.3

Cancela el factor común de $x^{5}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$2 x^{2} + 42 x + \frac{12}{x^{5}} x^{5} = 0 x^{5}$

Paso 1.2.3.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$2 x^{2} + 42 x + 12 = 0 x^{5}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.3.1

Multiplica $0$ por $x^{5}$ .

$2 x^{2} + 42 x + 12 = 0$

Paso 1.2.4

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 42 x + 12$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 42 x + 12 = 0$

Paso 1.2.4.1.2

Factoriza $2$ de $42 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (21 x) + 12 = 0$

Paso 1.2.4.1.3

Factoriza $2$ de $12$ .

$2 x^{2} + 2 (21 x) + 2 \cdot 6 = 0$

Paso 1.2.4.1.4

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 (21 x)$ .

$2 (x^{2} + 21 x) + 2 \cdot 6 = 0$

Paso 1.2.4.1.5

Factoriza $2$ de $2 (x^{2} + 21 x) + 2 \cdot 6$ .

$2 (x^{2} + 21 x + 6) = 0$

Paso 1.2.4.2

Divide cada término en $2 (x^{2} + 21 x + 6) = 0$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.1

Divide cada término en $2 (x^{2} + 21 x + 6) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 21 x + 6)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 1.2.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x^{2} + 21 x + 6)}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 1.2.4.2.2.1.2

Divide $x^{2} + 21 x + 6$ por $1$ .

$x^{2} + 21 x + 6 = \frac{0}{2}$

Paso 1.2.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x^{2} + 21 x + 6 = 0$

Paso 1.2.4.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2.4.4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 21$ y $c = 6$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.5.1.1

Eleva $21$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $6$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.5.1.3

Resta $24$ de $441$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2}$

Paso 1.2.4.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.6.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.6.1.1

Eleva $21$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $6$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.6.1.3

Resta $24$ de $441$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2}$

Paso 1.2.4.6.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 21 + \sqrt{417}}{2}$

Paso 1.2.4.6.4

Reescribe $- 21$ como $- 1 (21)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 21 + \sqrt{417}}{2}$

Paso 1.2.4.6.5

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{417}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - 1 (- \sqrt{417})}{2}$

Paso 1.2.4.6.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (21) - 1 (- \sqrt{417})$ .

$x = \frac{- 1 (21 - \sqrt{417})}{2}$

Paso 1.2.4.6.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{21 - \sqrt{417}}{2}$

Paso 1.2.4.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.4.7.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.7.1.1

Eleva $21$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Paso 1.2.4.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.7.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $6$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 24}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.7.1.3

Resta $24$ de $441$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 21 \pm \sqrt{417}}{2}$

Paso 1.2.4.7.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 21 - \sqrt{417}}{2}$

Paso 1.2.4.7.4

Reescribe $- 21$ como $- 1 (21)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - \sqrt{417}}{2}$

Paso 1.2.4.7.5

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{417}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 21 - (\sqrt{417})}{2}$

Paso 1.2.4.7.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (21) - (\sqrt{417})$ .

$x = \frac{- 1 (21 + \sqrt{417})}{2}$

Paso 1.2.4.7.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{21 + \sqrt{417}}{2}$

Paso 1.2.4.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2}$

Paso 2

Obtén el dominio de $f (x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{7}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ .

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Paso 2.1

Establece el denominador en $\frac{1}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 2.2

Establece el denominador en $\frac{7}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 2.3

Resuelve $x$

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Paso 2.3.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 2.3.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 2.3.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.3.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 2.3.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.4

Establece el denominador en $\frac{1}{x^{3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} = 0$

Paso 2.5

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 2.5.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 2.5.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 2.6

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2}) \cup (- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2}) \cup (- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 23$ en la expresión.

$f'' (- 23) = \frac{2}{{(- 23)}^{3}} + \frac{42}{{(- 23)}^{4}} + \frac{12}{{(- 23)}^{5}}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Obtén el denominador común

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Paso 4.2.1.1

Eleva $- 23$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} + \frac{42}{{(- 23)}^{4}} + \frac{12}{{(- 23)}^{5}}$

Paso 4.2.1.2

Eleva $- 23$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{{(- 23)}^{5}}$

Paso 4.2.1.3

Eleva $- 23$ a la potencia de $5$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{- 6436343}$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $\frac{2}{- 12167}$ por $\frac{- 529}{- 529}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2}{- 12167} \cdot \frac{- 529}{- 529} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{- 6436343}$

Paso 4.2.1.5

Multiplica $\frac{2}{- 12167}$ por $\frac{- 529}{- 529}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42}{279841} + \frac{12}{- 6436343}$

Paso 4.2.1.6

Multiplica $\frac{42}{279841}$ por $\frac{23}{23}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42}{279841} \cdot \frac{23}{23} + \frac{12}{- 6436343}$

Paso 4.2.1.7

Multiplica $\frac{42}{279841}$ por $\frac{23}{23}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12}{- 6436343}$

Paso 4.2.1.8

Multiplica $\frac{12}{- 6436343}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12}{- 6436343} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Paso 4.2.1.9

Multiplica $\frac{12}{- 6436343}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{- 12167 \cdot - 529} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

Paso 4.2.1.10

Multiplica $- 12167$ por $- 529$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{279841 \cdot 23} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

Paso 4.2.1.11

Reordena los factores de $279841 \cdot 23$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{23 \cdot 279841} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

Paso 4.2.1.12

Multiplica $23$ por $279841$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{6436343} + \frac{12 \cdot - 1}{- 6436343 \cdot - 1}$

Paso 4.2.1.13

Multiplica $- 6436343$ por $- 1$ .

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529}{6436343} + \frac{42 \cdot 23}{6436343} + \frac{12 \cdot - 1}{6436343}$

Paso 4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (- 23) = \frac{2 \cdot - 529 + 42 \cdot 23 + 12 \cdot - 1}{6436343}$

Paso 4.2.3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.1

Multiplica $2$ por $- 529$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 1058 + 42 \cdot 23 + 12 \cdot - 1}{6436343}$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $42$ por $23$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 1058 + 966 + 12 \cdot - 1}{6436343}$

Paso 4.2.3.3

Multiplica $12$ por $- 1$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 1058 + 966 - 12}{6436343}$

Paso 4.2.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.1

Suma $- 1058$ y $966$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 92 - 12}{6436343}$

Paso 4.2.4.2

Resta $12$ de $- 92$ .

$f'' (- 23) = \frac{- 104}{6436343}$

Paso 4.2.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 23) = - \frac{104}{6436343}$

Paso 4.2.5

La respuesta final es $- \frac{104}{6436343}$ .

$- \frac{104}{6436343}$

Paso 4.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ porque $f'' (- 23)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f'' (- 3) = \frac{2}{{(- 3)}^{3}} + \frac{42}{{(- 3)}^{4}} + \frac{12}{{(- 3)}^{5}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} + \frac{42}{{(- 3)}^{4}} + \frac{12}{{(- 3)}^{5}}$

Paso 5.2.1.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} + \frac{42}{81} + \frac{12}{{(- 3)}^{5}}$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 3$ a la potencia de $5$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} + \frac{42}{81} + \frac{12}{- 243}$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $\frac{2}{- 27}$ por $\frac{- 9}{- 9}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2}{- 27} \cdot \frac{- 9}{- 9} + \frac{42}{81} + \frac{12}{- 243}$

Paso 5.2.1.5

Multiplica $\frac{2}{- 27}$ por $\frac{- 9}{- 9}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42}{81} + \frac{12}{- 243}$

Paso 5.2.1.6

Multiplica $\frac{42}{81}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42}{81} \cdot \frac{3}{3} + \frac{12}{- 243}$

Paso 5.2.1.7

Multiplica $\frac{42}{81}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12}{- 243}$

Paso 5.2.1.8

Multiplica $\frac{12}{- 243}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12}{- 243} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Paso 5.2.1.9

Multiplica $\frac{12}{- 243}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{- 27 \cdot - 9} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

Paso 5.2.1.10

Multiplica $- 27$ por $- 9$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

Paso 5.2.1.11

Reordena los factores de $81 \cdot 3$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{3 \cdot 81} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

Paso 5.2.1.12

Multiplica $3$ por $81$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{243} + \frac{12 \cdot - 1}{- 243 \cdot - 1}$

Paso 5.2.1.13

Multiplica $- 243$ por $- 1$ .

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9}{243} + \frac{42 \cdot 3}{243} + \frac{12 \cdot - 1}{243}$

Paso 5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (- 3) = \frac{2 \cdot - 9 + 42 \cdot 3 + 12 \cdot - 1}{243}$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 18 + 42 \cdot 3 + 12 \cdot - 1}{243}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $42$ por $3$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 18 + 126 + 12 \cdot - 1}{243}$

Paso 5.2.3.3

Multiplica $12$ por $- 1$ .

$f'' (- 3) = \frac{- 18 + 126 - 12}{243}$

Paso 5.2.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.1

Suma $- 18$ y $126$ .

$f'' (- 3) = \frac{108 - 12}{243}$

Paso 5.2.4.2

Resta $12$ de $108$ .

$f'' (- 3) = \frac{96}{243}$

Paso 5.2.4.3

Cancela el factor común de $96$ y $243$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.3.1

Factoriza $3$ de $96$ .

$f'' (- 3) = \frac{3 (32)}{243}$

Paso 5.2.4.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.3.2.1

Factoriza $3$ de $243$ .

$f'' (- 3) = \frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 81}$

Paso 5.2.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (- 3) = \frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 81}$

Paso 5.2.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (- 3) = \frac{32}{81}$

Paso 5.2.5

La respuesta final es $\frac{32}{81}$ .

$\frac{32}{81}$

Paso 5.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ porque $f'' (- 3)$ es positiva.

Convexo en $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.14$ en la expresión.

$f'' (- 0.14) = \frac{2}{{(- 0.14)}^{3}} + \frac{42}{{(- 0.14)}^{4}} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva $- 0.14$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 0.14) = \frac{2}{- 0.002744} + \frac{42}{{(- 0.14)}^{4}} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Paso 6.2.1.2

Divide $2$ por $- 0.002744$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + \frac{42}{{(- 0.14)}^{4}} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $- 0.14$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + \frac{42}{0.00038416} + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Paso 6.2.1.4

Divide $42$ por $0.00038416$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + 109329.44606413 + \frac{12}{{(- 0.14)}^{5}}$

Paso 6.2.1.5

Eleva $- 0.14$ a la potencia de $5$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + 109329.44606413 + \frac{12}{- 0.00005378}$

Paso 6.2.1.6

Divide $12$ por $- 0.00005378$ .

$f'' (- 0.14) = - 728.86297376 + 109329.44606413 - 223121.31849824$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Suma $- 728.86297376$ y $109329.44606413$ .

$f'' (- 0.14) = 108600.58309037 - 223121.31849824$

Paso 6.2.2.2

Resta $223121.31849824$ de $108600.58309037$ .

$f'' (- 0.14) = - 114520.73540786$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 114520.73540786$ .

$- 114520.73540786$

Paso 6.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ porque $f'' (- 0.14)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 7

Sustituye cualquier número del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f'' (2) = \frac{2}{{(2)}^{3}} + \frac{42}{{(2)}^{4}} + \frac{12}{{(2)}^{5}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f'' (2) = \frac{2}{8} + \frac{42}{{(2)}^{4}} + \frac{12}{{(2)}^{5}}$

Paso 7.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f'' (2) = \frac{2}{8} + \frac{42}{16} + \frac{12}{{(2)}^{5}}$

Paso 7.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$f'' (2) = \frac{2}{8} + \frac{42}{16} + \frac{12}{32}$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $\frac{2}{8}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f'' (2) = \frac{2}{8} \cdot \frac{4}{4} + \frac{42}{16} + \frac{12}{32}$

Paso 7.2.1.5

Multiplica $\frac{2}{8}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{42}{16} + \frac{12}{32}$

Paso 7.2.1.6

Multiplica $\frac{42}{16}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{42}{16} \cdot \frac{2}{2} + \frac{12}{32}$

Paso 7.2.1.7

Multiplica $\frac{42}{16}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{8 \cdot 4} + \frac{42 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{12}{32}$

Paso 7.2.1.8

Reordena los factores de $8 \cdot 4$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{4 \cdot 8} + \frac{42 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{12}{32}$

Paso 7.2.1.9

Multiplica $4$ por $8$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{32} + \frac{42 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{12}{32}$

Paso 7.2.1.10

Reordena los factores de $16 \cdot 2$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{32} + \frac{42 \cdot 2}{2 \cdot 16} + \frac{12}{32}$

Paso 7.2.1.11

Multiplica $2$ por $16$ .

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4}{32} + \frac{42 \cdot 2}{32} + \frac{12}{32}$

Paso 7.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 4 + 42 \cdot 2 + 12}{32}$

Paso 7.2.3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$f'' (2) = \frac{8 + 42 \cdot 2 + 12}{32}$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $42$ por $2$ .

$f'' (2) = \frac{8 + 84 + 12}{32}$

Paso 7.2.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.4.1

Suma $8$ y $84$ .

$f'' (2) = \frac{92 + 12}{32}$

Paso 7.2.4.2

Suma $92$ y $12$ .

$f'' (2) = \frac{104}{32}$

Paso 7.2.4.3

Cancela el factor común de $104$ y $32$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.4.3.1

Factoriza $8$ de $104$ .

$f'' (2) = \frac{8 (13)}{32}$

Paso 7.2.4.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.4.3.2.1

Factoriza $8$ de $32$ .

$f'' (2) = \frac{8 \cdot 13}{8 \cdot 4}$

Paso 7.2.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (2) = \frac{8 \cdot 13}{8 \cdot 4}$

Paso 7.2.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (2) = \frac{13}{4}$

Paso 7.2.5

La respuesta final es $\frac{13}{4}$ .

$\frac{13}{4}$

Paso 7.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(0, \infty)$ porque $f'' (2)$ es positiva.

Convexo en $(0, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 8

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Cóncavo en $(- \infty, - \frac{21 + \sqrt{417}}{2})$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(- \frac{21 + \sqrt{417}}{2}, - \frac{21 - \sqrt{417}}{2})$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(- \frac{21 - \sqrt{417}}{2}, 0)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(0, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 9