Cálculo Ejemplos

$4 x^{3} - 4 x$

Paso 1

Escribe $4 x^{3} - 4 x$ como una función.

$f (x) = 4 x^{3} - 4 x$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} - 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 4 \cdot 1$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 4$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 x^{2} - 4$ .

$12 x^{2} - 4$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $12 x^{2} - 4 = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$12 x^{2} - 4 = 0$

Paso 3.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$12 x^{2} = 4$

Paso 3.3

Divide cada término en $12 x^{2} = 4$ por $12$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $12 x^{2} = 4$ por $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{12}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Cancela el factor común de $4$ y $12$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$x^{2} = \frac{4 (1)}{12}$

Paso 3.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Paso 3.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Paso 3.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Paso 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Paso 3.5

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 3.5.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Paso 3.5.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Paso 3.5.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 3.5.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.5.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 3.5.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 3.5.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 3.5.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 3.5.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 3.5.4.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.5.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.5.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.5.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.5.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 3.5.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 3.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 3.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 3.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.57735026$ en la expresión.

$f' (- 1.57735026) = 12 {(- 1.57735026)}^{2} - 4$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 1.57735026$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1.57735026) = 12 \cdot 2.48803384 - 4$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $12$ por $2.48803384$ .

$f' (- 1.57735026) = 29.85640611 - 4$

Paso 6.2.2

Resta $4$ de $29.85640611$ .

$f' (- 1.57735026) = 25.85640611$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $25.85640611$ .

$25.85640611$

Paso 6.3

En $x = - 1.57735026$ la derivada es $25.85640611$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Incremento en $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 0.57735026, \frac{\sqrt{3}}{3})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = 12 {(0)}^{2} - 4$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f' (0) = 12 \cdot 0 - 4$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $12$ por $0$ .

$f' (0) = 0 - 4$

Paso 7.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$f' (0) = - 4$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 4$ .

$- 4$

Paso 7.3

En $x = 0$ la derivada es $- 4$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 0.57735026, \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Decrecimiento en $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.57735026$ en la expresión.

$f' (1.57735026) = 12 {(1.57735026)}^{2} - 4$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $1.57735026$ a la potencia de $2$ .

$f' (1.57735026) = 12 \cdot 2.48803384 - 4$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $12$ por $2.48803384$ .

$f' (1.57735026) = 29.85640611 - 4$

Paso 8.2.2

Resta $4$ de $29.85640611$ .

$f' (1.57735026) = 25.85640611$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $25.85640611$ .

$25.85640611$

Paso 8.3

En $x = 1.57735026$ la derivada es $25.85640611$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$

Paso 10