Cálculo Ejemplos

${(6 (\cos (60 °) + i \sin (60 °)))}^{3}$

Paso 1

Simplifica los términos.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

El valor exacto de $\cos (60 °)$ es $\frac{1}{2}$ .

${(6 (\frac{1}{2} + i \sin (60 °)))}^{3}$

Paso 1.1.2

El valor exacto de $\sin (60 °)$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(6 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}))}^{3}$

Paso 1.1.3

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(6 (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{3}$

Paso 1.2

Simplifica los términos.

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(6 (\frac{1}{2}) + 6 \frac{i \sqrt{3}}{2})}^{3}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

${(2 (3) \frac{1}{2} + 6 \frac{i \sqrt{3}}{2})}^{3}$

Paso 1.2.2.2

Cancela el factor común.

${(2 \cdot 3 \frac{1}{2} + 6 \frac{i \sqrt{3}}{2})}^{3}$

Paso 1.2.2.3

Reescribe la expresión.

${(3 + 6 \frac{i \sqrt{3}}{2})}^{3}$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.1

Factoriza $2$ de $6$ .

${(3 + 2 (3) \frac{i \sqrt{3}}{2})}^{3}$

Paso 1.2.3.2

Cancela el factor común.

${(3 + 2 \cdot 3 \frac{i \sqrt{3}}{2})}^{3}$

Paso 1.2.3.3

Reescribe la expresión.

${(3 + 3 (i \sqrt{3}))}^{3}$

Paso 2

Usa el teorema del binomio.

$3^{3} + 3 \cdot 3^{2} (3 i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 + 3 \cdot 3^{2} (3 i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 3.1.2

Multiplica $3$ por $3^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.2.1

Multiplica $3$ por $3^{2}$ .

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Paso 3.1.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$27 + 3^{1} \cdot 3^{2} (3 i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 3.1.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$27 + 3^{1 + 2} (3 i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 3.1.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$27 + 3^{3} (3 i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 3.1.3

Multiplica $3^{3}$ por $3$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.3.1

Mueve $3$ .

$27 + 3 \cdot 3^{3} (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 3.1.3.2

Multiplica $3$ por $3^{3}$ .

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Paso 3.1.3.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$27 + 3^{1} \cdot 3^{3} (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 3.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$27 + 3^{1 + 3} (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 3.1.3.3

Suma $1$ y $3$ .

$27 + 3^{4} (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 3.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$27 + 81 (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 3 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 3.1.5

Multiplica $3$ por $3$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 {(3 i \sqrt{3})}^{2} + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 3.1.6

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.6.1

Aplica la regla del producto a $3 i \sqrt{3}$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 ({(3 i)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 3.1.6.2

Aplica la regla del producto a $3 i$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (3^{2} i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 3.1.7

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (9 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 3.1.8

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (9 \cdot - 1 {\sqrt{3}}^{2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 3.1.9

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 {\sqrt{3}}^{2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 3.1.10

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.1.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 3.1.10.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 3.1.10.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 3.1.10.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.10.4.1

Cancela el factor común.

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 3.1.10.4.2

Reescribe la expresión.

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 \cdot 3^{1}) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 3.1.10.5

Evalúa el exponente.

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 (- 9 \cdot 3) + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 3.1.11

Multiplica $9 (- 9 \cdot 3)$ .

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Paso 3.1.11.1

Multiplica $- 9$ por $3$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} + 9 \cdot - 27 + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 3.1.11.2

Multiplica $9$ por $- 27$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + {(3 i \sqrt{3})}^{3}$

Paso 3.1.12

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.12.1

Aplica la regla del producto a $3 i \sqrt{3}$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + {(3 i)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Paso 3.1.12.2

Aplica la regla del producto a $3 i$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + 3^{3} i^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Paso 3.1.13

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + 27 i^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Paso 3.1.14

Factoriza $i^{2}$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + 27 (i^{2} \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}$

Paso 3.1.15

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + 27 (- 1 \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}$

Paso 3.1.16

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 + 27 (- i) {\sqrt{3}}^{3}$

Paso 3.1.17

Multiplica $- 1$ por $27$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 27 i {\sqrt{3}}^{3}$

Paso 3.1.18

Reescribe ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 27 i \sqrt{3^{3}}$

Paso 3.1.19

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 27 i \sqrt{27}$

Paso 3.1.20

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 3.1.20.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 27 i \sqrt{9 (3)}$

Paso 3.1.20.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 27 i \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Paso 3.1.21

Retira los términos de abajo del radical.

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 27 i (3 \sqrt{3})$

Paso 3.1.22

Multiplica $3$ por $- 27$ .

$27 + 81 i \sqrt{3} - 243 - 81 i \sqrt{3}$

Paso 3.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.2.1

Resta $243$ de $27$ .

$81 i \sqrt{3} - 216 - 81 i \sqrt{3}$

Paso 3.2.2

Resta $81 i \sqrt{3}$ de $81 i \sqrt{3}$ .

$0 - 216$

Paso 3.2.3

Resta $216$ de $0$ .

$- 216$