Cálculo Ejemplos

$x^{- \frac{1}{3}}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = y^{- \frac{1}{3}}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $y^{- \frac{1}{3}} = x$ .

$y^{- \frac{1}{3}} = x$

Paso 2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $- 3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(y^{- \frac{1}{3}})}^{- 3} = x^{- 3}$

Paso 2.3

Simplifica el exponente.

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Paso 2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1.1

Simplifica ${(y^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

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Paso 2.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{- \frac{1}{3} \cdot - 3} = x^{- 3}$

Paso 2.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.1.1.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{3}$ al numerador.

$y^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = x^{- 3}$

Paso 2.3.1.1.1.2.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$y^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = x^{- 3}$

Paso 2.3.1.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$y^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = x^{- 3}$

Paso 2.3.1.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$y^{- 1 \cdot - 1} = x^{- 3}$

Paso 2.3.1.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y^{1} = x^{- 3}$

Paso 2.3.1.1.2

Simplifica.

$y = x^{- 3}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y = \frac{1}{x^{3}}$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{3}}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{3}}$ es la inversa de $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}}) = \frac{1}{{(x^{- \frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 4.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 4.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}}) = \frac{1}{x^{- \frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 4.2.3.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.3.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{3}$ al numerador.

$f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}}) = \frac{1}{x^{\frac{- 1}{3} \cdot 3}}$

Paso 4.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}}) = \frac{1}{x^{\frac{- 1}{3} \cdot 3}}$

Paso 4.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}}) = \frac{1}{x^{- 1}}$

Paso 4.2.3.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Paso 4.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}}) = 1 x$

Paso 4.2.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (x^{- \frac{1}{3}}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{1}{x^{3}})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{1}{x^{3}}) = {(\frac{1}{x^{3}})}^{- \frac{1}{3}}$

Paso 4.3.3

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$f (\frac{1}{x^{3}}) = {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 4.3.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 4.3.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{x^{3}}) = x^{3 (\frac{1}{3})}$

Paso 4.3.4.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.4.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{x^{3}}) = x^{3 (\frac{1}{3})}$

Paso 4.3.4.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{x^{3}}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{3}}$ es la inversa de $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{x^{3}}$