Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 7$

Paso 1

Escribe $y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 7$ como una función.

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 7$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{3}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Paso 2.1.2.3

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Paso 2.1.2.4

Combina $\frac{3}{3}$ y $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Paso 2.1.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.1.2.5.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Paso 2.1.2.5.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Paso 2.1.3.3

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Paso 2.1.3.4

Combina $\frac{2}{2}$ y $x$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Paso 2.1.3.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.3.5.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = x^{2} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Paso 2.1.3.5.2

Divide $x$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} + x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Paso 2.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 2.1.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} + x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (7)$

Paso 2.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} + x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (7)$

Paso 2.1.4.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} + x - 2 + \frac{d}{d x} (7)$

Paso 2.1.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.5.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = x^{2} + x - 2 + 0$

Paso 2.1.5.2

Suma $x^{2} + x - 2$ y $0$ .

$f' (x) = x^{2} + x - 2$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 x + 1 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Paso 2.2.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 2 x + 1 + 0$

Paso 2.2.5

Suma $2 x + 1$ y $0$ .

$f'' (x) = 2 x + 1$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x + 1$ .

$2 x + 1$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $2 x + 1 = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Paso 3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 3.3

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- \frac{1}{2}$ en $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 7$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{1}{2}$ en la expresión.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{3}}{3} + \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{{(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}}{3} + \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Paso 4.1.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- {(\frac{1}{2})}^{3}}{3} + \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Paso 4.1.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- \frac{1^{3}}{2^{3}}}{3} + \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Paso 4.1.2.1.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- \frac{1}{2^{3}}}{3} + \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Paso 4.1.2.1.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- \frac{1}{8}}{3} + \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{3} + \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Paso 4.1.2.1.3

Multiplica $- \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 4.1.2.1.3.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{8}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{3 \cdot 8} + \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Paso 4.1.2.1.3.2

Multiplica $3$ por $8$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Paso 4.1.2.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.1.4.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Paso 4.1.2.1.4.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Paso 4.1.2.1.4.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Paso 4.1.2.1.4.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{1 (\frac{1}{2^{2}})}{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Paso 4.1.2.1.4.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{1 (\frac{1}{4})}{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Paso 4.1.2.1.4.6

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{\frac{1}{4}}{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Paso 4.1.2.1.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Paso 4.1.2.1.6

Multiplica $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 4.1.2.1.6.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{1}{4 \cdot 2} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Paso 4.1.2.1.6.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{1}{8} - 2 (- \frac{1}{2}) + 7$

Paso 4.1.2.1.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.1.7.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{1}{8} - 2 (\frac{- 1}{2}) + 7$

Paso 4.1.2.1.7.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{1}{8} + 2 (- 1) (\frac{- 1}{2}) + 7$

Paso 4.1.2.1.7.3

Cancela el factor común.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{1}{8} + 2 \cdot (- 1 (\frac{- 1}{2})) + 7$

Paso 4.1.2.1.7.4

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{1}{8} - 1 \cdot - 1 + 7$

Paso 4.1.2.1.8

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{1}{8} + 1 + 7$

Paso 4.1.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{8}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{3} + 1 + 7$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $\frac{1}{8}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{3}{8 \cdot 3} + 1 + 7$

Paso 4.1.2.2.3

Escribe $1$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{3}{8 \cdot 3} + \frac{1}{1} + 7$

Paso 4.1.2.2.4

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{24}{24}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{3}{8 \cdot 3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{24}{24} + 7$

Paso 4.1.2.2.5

Multiplica $\frac{1}{1}$ por $\frac{24}{24}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{3}{8 \cdot 3} + \frac{24}{24} + 7$

Paso 4.1.2.2.6

Escribe $7$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{3}{8 \cdot 3} + \frac{24}{24} + \frac{7}{1}$

Paso 4.1.2.2.7

Multiplica $\frac{7}{1}$ por $\frac{24}{24}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{3}{8 \cdot 3} + \frac{24}{24} + \frac{7}{1} \cdot \frac{24}{24}$

Paso 4.1.2.2.8

Multiplica $\frac{7}{1}$ por $\frac{24}{24}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{3}{8 \cdot 3} + \frac{24}{24} + \frac{7 \cdot 24}{24}$

Paso 4.1.2.2.9

Reordena los factores de $8 \cdot 3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{3}{3 \cdot 8} + \frac{24}{24} + \frac{7 \cdot 24}{24}$

Paso 4.1.2.2.10

Multiplica $3$ por $8$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{24} + \frac{3}{24} + \frac{24}{24} + \frac{7 \cdot 24}{24}$

Paso 4.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 3 + 24 + 7 \cdot 24}{24}$

Paso 4.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.4.1

Multiplica $7$ por $24$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 3 + 24 + 168}{24}$

Paso 4.1.2.4.2

Suma $- 1$ y $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{2 + 24 + 168}{24}$

Paso 4.1.2.4.3

Suma $2$ y $24$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{26 + 168}{24}$

Paso 4.1.2.4.4

Suma $26$ y $168$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{194}{24}$

Paso 4.1.2.5

Cancela el factor común de $194$ y $24$ .

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Paso 4.1.2.5.1

Factoriza $2$ de $194$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{2 (97)}{24}$

Paso 4.1.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $24$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 97}{2 \cdot 12}$

Paso 4.1.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 97}{2 \cdot 12}$

Paso 4.1.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{97}{12}$

Paso 4.1.2.6

La respuesta final es $\frac{97}{12}$ .

$\frac{97}{12}$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- \frac{1}{2}$ en $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + 7$ es $(- \frac{1}{2}, \frac{97}{12})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- \frac{1}{2}, \frac{97}{12})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \frac{1}{2})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.6$ en la expresión.

$f'' (- 0.6) = 2 (- 0.6) + 1$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $2$ por $- 0.6$ .

$f'' (- 0.6) = - 1.2 + 1$

Paso 6.2.2

Suma $- 1.2$ y $1$ .

$f'' (- 0.6) = - 0.2$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 0.2$ .

$- 0.2$

Paso 6.3

En $- 0.6$ , la segunda derivada es $- 0.2$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - \frac{1}{2})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - \frac{1}{2})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- \frac{1}{2}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.4$ en la expresión.

$f'' (- 0.4) = 2 (- 0.4) + 1$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Multiplica $2$ por $- 0.4$ .

$f'' (- 0.4) = - 0.8 + 1$

Paso 7.2.2

Suma $- 0.8$ y $1$ .

$f'' (- 0.4) = 0.2$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $0.2$ .

$0.2$

Paso 7.3

En $- 0.4$ , la segunda derivada es $0.2$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \frac{1}{2}, \infty)$ .

Incremento en $(- \frac{1}{2}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(- \frac{1}{2}, \frac{97}{12})$ .

$(- \frac{1}{2}, \frac{97}{12})$

Paso 9