Cálculo Ejemplos

$y = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$

Paso 1

Escribe $y = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$ como una función.

$f (x) = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \log_{3} (x^{2} + 5)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\log_{3} (x^{2} + 5)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\log_{3} (x^{2} + 5)]$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\log_{3} (x^{2} + 5)]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\log_{3} (x^{2} + 5)]$ .

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Paso 2.1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \log_{3} (x)$ y $g (x) = x^{2} + 5$ .

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Paso 2.1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 5$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\log_{3} (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Paso 2.1.2.1.2

La derivada de $\log_{3} (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u \ln (3)}$ .

$1 + \frac{1}{u \ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Paso 2.1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 5$ .

$1 + \frac{1}{(x^{2} + 5) \ln (3)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Paso 2.1.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$1 + \frac{1}{(x^{2} + 5) \ln (3)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 2.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$1 + \frac{1}{(x^{2} + 5) \ln (3)} (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 2.1.2.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + \frac{1}{(x^{2} + 5) \ln (3)} (2 x + 0)$

Paso 2.1.2.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$1 + \frac{1}{(x^{2} + 5) \ln (3)} (2 x)$

Paso 2.1.2.6

Combina $2$ y $\frac{1}{(x^{2} + 5) \ln (3)}$ .

$1 + \frac{2}{(x^{2} + 5) \ln (3)} x$

Paso 2.1.2.7

Combina $\frac{2}{(x^{2} + 5) \ln (3)}$ y $x$ .

$1 + \frac{2 x}{(x^{2} + 5) \ln (3)}$

Paso 2.1.3

Simplifica.

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Paso 2.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 + \frac{2 x}{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)}$

Paso 2.1.3.2

Combina los términos.

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Paso 2.1.3.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)}{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)} + \frac{2 x}{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)}$

Paso 2.1.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3) + 2 x}{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)}$

Paso 2.1.3.3

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)}{x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)$ y $g (x) = x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)] - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.2.2

Como $\ln (3)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x^{2} \ln (3)$ con respecto a $x$ es $\ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (\ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (\ln (3) (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (3)$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \cdot \ln (3) x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.2.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.2.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2 + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.2.8

Como $5 \ln (3)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 \ln (3)$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2 + 0) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.2.9

Suma $2 \ln (3) x + 2$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)]}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.2.10

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)]$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3)] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)])}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.2.11

Como $\ln (3)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x^{2} \ln (3)$ con respecto a $x$ es $\ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (\ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)])}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.2.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (\ln (3) (2 x) + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)])}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.2.13

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (3)$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (2 \cdot \ln (3) x + \frac{d}{d x} [5 \ln (3)])}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.2.14

Como $5 \ln (3)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 \ln (3)$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 0)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.2.15

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.2.15.1

Suma $2 \ln (3) x$ y $0$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.2.15.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3) + 2 x + 5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) + (- 2 (x^{2} \ln (3)) - 2 (2 x) - 2 (5 \ln (3))) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3)) (2 \ln (3) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.3.3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.3.3.1.1.1

Simplifica $5 \ln (3)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$\frac{(x^{2} \ln (3) + \ln (3^{5})) (2 \ln (3) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.1.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + \ln (243)) (2 \ln (3) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.3.3.1.2.1

Simplifica $2 \ln (3)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{(x^{2} \ln (3) + \ln (243)) (\ln (3^{2}) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.1.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{(x^{2} \ln (3) + \ln (243)) (\ln (9) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.1.3

Expande $(x^{2} \ln (3) + \ln (243)) (\ln (9) x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.3.3.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} \ln (3) (\ln (9) x + 2) + \ln (243) (\ln (9) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} \ln (3) (\ln (9) x) + x^{2} \ln (3) \cdot 2 + \ln (243) (\ln (9) x + 2) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} \ln (3) (\ln (9) x) + x^{2} \ln (3) \cdot 2 + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.3.3.1.4.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.3.3.1.4.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (3) \cdot 2 + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.1.4.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.2.3.3.1.4.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (3) \cdot 2 + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.1.4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{1 + 2} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (3) \cdot 2 + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.1.4.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (3) \cdot 2 + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.1.4.2

Simplifica $2 \ln (3)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (3^{2}) + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.1.4.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) (\ln (9) x) + \ln (243) \cdot 2 - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.1.4.4

Multiplica $\ln (243) \cdot 2$ .

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Paso 2.2.3.3.1.4.4.1

Reordena $\ln (243)$ y $2$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + 2 \cdot \ln (243) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.1.4.4.2

Simplifica $2 \cdot \ln (243)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (243^{2}) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.1.4.5

Eleva $243$ a la potencia de $2$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) - 2 (x^{2} \ln (3)) (\ln (3) x) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.1.5

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.3.3.1.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) - 2 (x \cdot x^{2} \ln (3)) \ln (3) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.2.3.3.1.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) - 2 (x^{1} x^{2} \ln (3)) \ln (3) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) - 2 (x^{1 + 2} \ln (3)) \ln (3) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.1.5.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) - 2 (x^{3} \ln (3)) \ln (3) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.1.6

Simplifica $- 2 \ln (3)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (3^{2})) \ln (3) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.1.7

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) - 2 (2 x) (\ln (3) x) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.1.8

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.3.3.1.8.1

Mueve $x$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) - 2 (2 (x \cdot x)) \ln (3) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.1.8.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) - 2 (2 x^{2}) \ln (3) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.1.9

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) - 4 x^{2} \ln (3) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.1.10

Simplifica $- 4 \ln (3)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (3^{4})) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.1.11

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (81)) - 2 (5 \ln (3)) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.1.12

Simplifica $5 \ln (3)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (81)) - 2 \ln (3^{5}) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.1.13

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (81)) - 2 \ln (243) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.1.14

Simplifica $- 2 \ln (243)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (243^{2}) (\ln (3) x)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.1.15

Eleva $243$ a la potencia de $2$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (59049) \ln (3) x}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.2

Combina los términos opuestos en $x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{3} (- \ln (9)) \ln (3) + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (59049) \ln (3) x$ .

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Paso 2.2.3.3.2.1

Reordena los factores en los términos $x^{3} \ln (3) \ln (9)$ y $x^{3} (- \ln (9)) \ln (3)$ .

$\frac{x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) - x^{3} \ln (3) \ln (9) + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (59049) \ln (3) x}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.2.2

Resta $x^{3} \ln (3) \ln (9)$ de $x^{3} \ln (3) \ln (9)$ .

$\frac{x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + 0 + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (59049) \ln (3) x}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.2.3

Suma $x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049)$ y $0$ .

$\frac{x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (59049) \ln (3) x}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.3.3

Reordena los factores en $x^{2} \ln (9) + \ln (243) \ln (9) x + \ln (59049) + x^{2} (- \ln (81)) - \ln (59049) \ln (3) x$ .

$\frac{x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) + \ln (59049) - x^{2} \ln (81) - x \ln (59049) \ln (3)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.2.3.4

Reordena los términos.

$f'' (x) = \frac{x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) - x^{2} \ln (81) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) - x^{2} \ln (81) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$ .

$\frac{x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) - x^{2} \ln (81) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) - x^{2} \ln (81) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) - x^{2} \ln (81) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(x^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$x^{2} \ln (9) + x \ln (243) \ln (9) - x^{2} \ln (81) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049) = 0$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.3.1

Mueve $x \ln (243) \ln (9)$ .

$x^{2} \ln (9) - x^{2} \ln (81) + x \ln (243) \ln (9) - x \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049) = 0$

Paso 3.3.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.3.3

Sustituye los valores $a = \ln (9) - \ln (81)$ , $b = \ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)$ y $c = \ln (59049)$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot ((\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049))}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9)) - (- \ln (3) \ln (59049)) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.4.2

Multiplica $- (- \ln (3) \ln (59049))$ .

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Paso 3.3.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + 1 (\ln (3) \ln (59049)) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.4.2.2

Multiplica $\ln (3)$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.4.3

Reescribe ${(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2}$ como $(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.4.4

Expande $(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln (243) \ln (9) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.4.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln (243) \ln (9) (\ln (243) \ln (9)) + \ln (243) \ln (9) (- \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.4.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln (243) \ln (9) (\ln (243) \ln (9)) + \ln (243) \ln (9) (- \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9)) - \ln (3) \ln (59049) (- \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.4.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.4.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.4.5.1.1

Multiplica $\ln (243)$ por $\ln (243)$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.4.5.1.1.1

Mueve $\ln (243)$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln (243) \ln (243) \ln (9) \ln (9) + \ln (243) \ln (9) (- \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9)) - \ln (3) \ln (59049) (- \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.4.5.1.1.2

Multiplica $\ln (243)$ por $\ln (243)$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln (9) \ln (9) + \ln (243) \ln (9) (- \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9)) - \ln (3) \ln (59049) (- \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.4.5.1.2

Multiplica $\ln (9)$ por $\ln (9)$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.4.5.1.2.1

Mueve $\ln (9)$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) (\ln (9) \ln (9)) + \ln (243) \ln (9) (- \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9)) - \ln (3) \ln (59049) (- \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.4.5.1.2.2

Multiplica $\ln (9)$ por $\ln (9)$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) + \ln (243) \ln (9) (- \ln (3) \ln (59049)) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9)) - \ln (3) \ln (59049) (- \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.4.5.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) (\ln (243) \ln (9)) - \ln (3) \ln (59049) (- \ln (3) \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.4.5.1.4

Multiplica $\ln (3)$ por $\ln (3)$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.4.5.1.4.1

Mueve $\ln (3)$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) \ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (3) \ln (59049) (- 1 \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.4.5.1.4.2

Multiplica $\ln (3)$ por $\ln (3)$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) \ln (243) \ln (9) - \ln^{2} (3) \ln (59049) (- 1 \ln (59049)) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.4.5.1.5

Multiplica $\ln (59049)$ por $\ln (59049)$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.4.5.1.5.1

Mueve $\ln (59049)$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) \ln (243) \ln (9) - \ln^{2} (3) (\ln (59049) \ln (59049)) \cdot - 1 - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.4.5.1.5.2

Multiplica $\ln (59049)$ por $\ln (59049)$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) \ln (243) \ln (9) - \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) \cdot - 1 - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.4.5.1.6

Multiplica $- \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) \cdot - 1$ .

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Paso 3.3.4.5.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) \ln (243) \ln (9) + 1 \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.4.5.1.6.2

Multiplica $\ln^{2} (3)$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (243) \ln (9) \ln (3) \ln (59049) - \ln (3) \ln (59049) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.4.5.2

Mueve $\ln (3)$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) - 1 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.4.5.3

Resta $\ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9)$ de $- \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9)$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.4.6

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) + (- 4 \ln (9) - 4 (- \ln (81))) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.4.7

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) + (- 4 \ln (9) + 4 \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.4.8

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.5.1

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.5.2

Factoriza $- 1$ de $- \ln (243) \ln (9)$ .

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9)) + \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.5.3

Factoriza $- 1$ de $\ln (3) \ln (59049)$ .

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9)) - (- \ln (3) \ln (59049)) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.5.4

Factoriza $- 1$ de $- (\ln (243) \ln (9)) - (- \ln (3) \ln (59049))$ .

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.5.5

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}$ .

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - 1 (- \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.5.6

Factoriza $- 1$ de $- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - 1 (- \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})$ .

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.5.7

Reescribe $- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})$ como $- 1 (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.5.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

Paso 3.3.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.6.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9)) - (- \ln (3) \ln (59049)) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.6.1.2

Multiplica $- (- \ln (3) \ln (59049))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.6.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + 1 (\ln (3) \ln (59049)) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.6.1.2.2

Multiplica $\ln (3)$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) \pm \sqrt{{(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2} - 4 \cdot (\ln (9) - \ln (81)) \cdot \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.6.1.3

Reescribe ${(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))}^{2}$ como $(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))$ .

Paso 3.3.6.1.4

Expande $(\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.6.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

Paso 3.3.6.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

Paso 3.3.6.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

Paso 3.3.6.1.5

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.6.1.5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.6.1.5.1.1

Multiplica $\ln (243)$ por $\ln (243)$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.6.1.5.1.1.1

Mueve $\ln (243)$ .

Paso 3.3.6.1.5.1.1.2

Multiplica $\ln (243)$ por $\ln (243)$ .

Paso 3.3.6.1.5.1.2

Multiplica $\ln (9)$ por $\ln (9)$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.6.1.5.1.2.1

Mueve $\ln (9)$ .

Paso 3.3.6.1.5.1.2.2

Multiplica $\ln (9)$ por $\ln (9)$ .

Paso 3.3.6.1.5.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

Paso 3.3.6.1.5.1.4

Multiplica $\ln (3)$ por $\ln (3)$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.6.1.5.1.4.1

Mueve $\ln (3)$ .

Paso 3.3.6.1.5.1.4.2

Multiplica $\ln (3)$ por $\ln (3)$ .

Paso 3.3.6.1.5.1.5

Multiplica $\ln (59049)$ por $\ln (59049)$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.6.1.5.1.5.1

Mueve $\ln (59049)$ .

Paso 3.3.6.1.5.1.5.2

Multiplica $\ln (59049)$ por $\ln (59049)$ .

Paso 3.3.6.1.5.1.6

Multiplica $- \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.6.1.5.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

Paso 3.3.6.1.5.1.6.2

Multiplica $\ln^{2} (3)$ por $1$ .

Paso 3.3.6.1.5.2

Mueve $\ln (3)$ .

Paso 3.3.6.1.5.3

Resta $\ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9)$ de $- \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9)$ .

Paso 3.3.6.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

Paso 3.3.6.1.7

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

Paso 3.3.6.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

Paso 3.3.6.2

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- \ln (243) \ln (9) + \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.6.3

Factoriza $- 1$ de $- \ln (243) \ln (9)$ .

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9)) + \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.6.4

Factoriza $- 1$ de $\ln (3) \ln (59049)$ .

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9)) - (- \ln (3) \ln (59049)) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.6.5

Factoriza $- 1$ de $- (\ln (243) \ln (9)) - (- \ln (3) \ln (59049))$ .

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.6.6

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}$ .

Paso 3.3.6.7

Factoriza $- 1$ de $- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049)) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}$ .

$x = \frac{- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.6.8

Reescribe $- (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})$ como $- 1 (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})$ .

$x = \frac{- 1 (\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)})}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.6.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 3.3.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) - \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}, - \frac{\ln (243) \ln (9) - \ln (3) \ln (59049) + \sqrt{\ln^{2} (243) \ln^{2} (9) - 2 \ln (59049) \ln (3) \ln (243) \ln (9) + \ln^{2} (3) \ln^{2} (59049) - 4 \ln (9) \ln (59049) + 4 \ln (81) \ln (59049)}}{2 (\ln (9) - \ln (81))}$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Sustituye $- 2.23606797$ en $f (x) = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$ para obtener el valor de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2.23606797$ en la expresión.

$f (- 2.23606797) = (- 2.23606797) + \log_{3} ({(- 2.23606797)}^{2} + 5)$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1.1

Eleva $- 2.23606797$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2.23606797) = - 2.23606797 + \log_{3} (5 + 5)$

Paso 4.1.2.1.2

Suma $5$ y $5$ .

$f (- 2.23606797) = - 2.23606797 + \log_{3} (10)$

Paso 4.1.2.1.3

El logaritmo en base $3$ de $10$ es aproximadamente $2.09590327$ .

$f (- 2.23606797) = - 2.23606797 + 2.09590327$

Paso 4.1.2.2

Suma $- 2.23606797$ y $2.09590327$ .

$f (- 2.23606797) = - 0.1401647$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $- 0.1401647$ .

$- 0.1401647$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 2.23606797$ en $f (x) = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$ es $(- 2.23606797, - 0.1401647)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 2.23606797, - 0.1401647)$

Paso 4.3

Sustituye $2.23606797$ en $f (x) = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.23606797$ en la expresión.

$f (2.23606797) = (2.23606797) + \log_{3} ({(2.23606797)}^{2} + 5)$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Eleva $2.23606797$ a la potencia de $2$ .

$f (2.23606797) = 2.23606797 + \log_{3} (5 + 5)$

Paso 4.3.2.1.2

Suma $5$ y $5$ .

$f (2.23606797) = 2.23606797 + \log_{3} (10)$

Paso 4.3.2.1.3

El logaritmo en base $3$ de $10$ es aproximadamente $2.09590327$ .

$f (2.23606797) = 2.23606797 + 2.09590327$

Paso 4.3.2.2

Suma $2.23606797$ y $2.09590327$ .

$f (2.23606797) = 4.33197125$

Paso 4.3.2.3

La respuesta final es $4.33197125$ .

$4.33197125$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $2.23606797$ en $f (x) = x + \log_{3} (x^{2} + 5)$ es $(2.23606797, 4.33197125)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(2.23606797, 4.33197125)$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- 2.23606797, - 0.1401647), (2.23606797, 4.33197125)$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 2.23606797) \cup (- 2.23606797, 2.23606797) \cup (2.23606797, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 2.23606797)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2.33606797$ en la expresión.

$f'' (- 2.33606797) = \frac{{(- 2.33606797)}^{2} \ln (9) + (- 2.33606797) \ln (243) \ln (9) - {(- 2.33606797)}^{2} \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva $- 2.33606797$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{5.45721359 \ln (9) - 2.33606797 \ln (243) \ln (9) - {(- 2.33606797)}^{2} \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Simplifica $5.45721359 \ln (9)$ al mover $5.45721359$ dentro del algoritmo.

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (9^{5.45721359}) - 2.33606797 \ln (243) \ln (9) - {(- 2.33606797)}^{2} \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $9$ a la potencia de $5.45721359$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - 2.33606797 \ln (243) \ln (9) - {(- 2.33606797)}^{2} \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 6.2.1.4

Simplifica $- 2.33606797 \ln (243)$ al mover $2.33606797$ dentro del algoritmo.

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (243^{2.33606797}) \ln (9) - {(- 2.33606797)}^{2} \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 6.2.1.5

Eleva $243$ a la potencia de $2.33606797$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (374057.54800345) \ln (9) - {(- 2.33606797)}^{2} \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 6.2.1.6

Eleva $- 2.33606797$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (374057.54800345) \ln (9) - 1 \cdot (5.45721359 \ln (81)) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 6.2.1.7

Multiplica $- 1$ por $5.45721359$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (374057.54800345) \ln (9) - 5.45721359 \ln (81) + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 6.2.1.8

Multiplica $- 5.45721359$ por $\ln (81)$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (374057.54800345) \ln (9) - 23.98144767 + 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 6.2.1.9

Simplifica $2.33606797 \ln (3)$ al mover $2.33606797$ dentro del algoritmo.

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (374057.54800345) \ln (9) - 23.98144767 + \ln (3^{2.33606797}) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 6.2.1.10

Eleva $3$ a la potencia de $2.33606797$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) - \ln (374057.54800345) \ln (9) - 23.98144767 + \ln (13.0193015) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 6.2.1.11

Resta $23.98144767$ de $\ln (161252.03194789)$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- \ln (374057.54800345) \ln (9) - 11.99072383 + \ln (13.0193015) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 6.2.1.12

Resta $11.99072383$ de $- \ln (374057.54800345) \ln (9)$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 40.18587201 + \ln (13.0193015) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 6.2.1.13

Suma $- 40.18587201$ y $\ln (13.0193015) \ln (59049)$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 11.99072383 + \ln (59049)}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 6.2.1.14

Suma $- 11.99072383$ y $\ln (59049)$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{({(- 2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Eleva $- 2.33606797$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(5.45721359 \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica $5.45721359 \ln (3)$ al mover $5.45721359$ dentro del algoritmo.

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (3^{5.45721359}) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $5.45721359$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (401.56199016) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 6.2.2.4

Simplifica $5 \ln (3)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (401.56199016) + \ln (3^{5}))}^{2}}$

Paso 6.2.2.5

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (401.56199016) + \ln (243))}^{2}}$

Paso 6.2.2.6

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{\ln^{2} (401.56199016 \cdot 243)}$

Paso 6.2.2.7

Multiplica $401.56199016$ por $243$ .

$f'' (- 2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{\ln^{2} (97579.56361088)}$

Paso 6.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 2.33606797) = - \frac{1.00460094}{\ln^{2} (97579.56361088)}$

Paso 6.2.4

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (- 2.33606797) = - \frac{1.00460094}{{\log_{2.71828182}}^{2} (97579.56361088)}$

Paso 6.2.5

El logaritmo en base $2.71828182$ de $97579.56361088$ es aproximadamente $11.48842336$ .

$f'' (- 2.33606797) = - \frac{1.00460094}{{11.48842336}^{2}}$

Paso 6.2.6

Eleva $11.48842336$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 2.33606797) = - \frac{1.00460094}{131.98387132}$

Paso 6.2.7

Divide $1.00460094$ por $131.98387132$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 1 \cdot 0.00761154$

Paso 6.2.8

Multiplica $- 1$ por $0.00761154$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 0.00761154$

Paso 6.2.9

La respuesta final es $- 0.00761154$ .

$- 0.00761154$

Paso 6.3

En $- 2.33606797$ , la segunda derivada es $- 0.00761154$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 2.23606797)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 2.23606797)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 2.23606797, 2.23606797)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = \frac{{(0)}^{2} \ln (9) + (0) \ln (243) \ln (9) - {(0)}^{2} \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(0)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 \ln (9) + 0 \ln (243) \ln (9) - 0^{2} \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $0$ por $\ln (9)$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 \ln (243) \ln (9) - 0^{2} \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $0$ por $\ln (243)$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 \ln (9) - 0^{2} \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $0$ por $\ln (9)$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 - 0^{2} \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 7.2.1.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 0 \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 7.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 0 \ln (81) + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 7.2.1.7

Multiplica $0$ por $\ln (81)$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 7.2.1.8

Multiplica $0$ por $\ln (3)$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 \ln (59049) + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 7.2.1.9

Multiplica $0$ por $\ln (59049)$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + 0 + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 7.2.1.10

Suma $0$ y $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 0 + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 7.2.1.11

Suma $0$ y $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 7.2.1.12

Suma $0$ y $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + \ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 7.2.1.13

Suma $0$ y $\ln (59049)$ .

$f'' (0) = \frac{\ln (59049)}{{(0^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = \frac{\ln (59049)}{{(0 \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Multiplica $0$ por $\ln (3)$ .

$f'' (0) = \frac{\ln (59049)}{{(0 + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 7.2.2.3

Simplifica $5 \ln (3)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$f'' (0) = \frac{\ln (59049)}{{(0 + \ln (3^{5}))}^{2}}$

Paso 7.2.2.4

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$f'' (0) = \frac{\ln (59049)}{{(0 + \ln (243))}^{2}}$

Paso 7.2.2.5

Suma $0$ y $\ln (243)$ .

$f'' (0) = \frac{\ln (59049)}{\ln^{2} (243)}$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $\frac{\ln (59049)}{\ln^{2} (243)}$ .

$\frac{\ln (59049)}{\ln^{2} (243)}$

Paso 7.3

En $0$ , la segunda derivada es $0.36409569$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 2.23606797, 2.23606797)$ .

Incremento en $(- 2.23606797, 2.23606797)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(2.23606797, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.33606797$ en la expresión.

$f'' (2.33606797) = \frac{{(2.33606797)}^{2} \ln (9) + (2.33606797) \ln (243) \ln (9) - {(2.33606797)}^{2} \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({(2.33606797)}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Eleva $2.33606797$ a la potencia de $2$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{5.45721359 \ln (9) + 2.33606797 \ln (243) \ln (9) - {2.33606797}^{2} \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 8.2.1.2

Simplifica $5.45721359 \ln (9)$ al mover $5.45721359$ dentro del algoritmo.

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (9^{5.45721359}) + 2.33606797 \ln (243) \ln (9) - {2.33606797}^{2} \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 8.2.1.3

Eleva $9$ a la potencia de $5.45721359$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + 2.33606797 \ln (243) \ln (9) - {2.33606797}^{2} \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 8.2.1.4

Simplifica $2.33606797 \ln (243)$ al mover $2.33606797$ dentro del algoritmo.

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (243^{2.33606797}) \ln (9) - {2.33606797}^{2} \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 8.2.1.5

Eleva $243$ a la potencia de $2.33606797$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (374057.54800345) \ln (9) - {2.33606797}^{2} \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 8.2.1.6

Eleva $2.33606797$ a la potencia de $2$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (374057.54800345) \ln (9) - 1 \cdot (5.45721359 \ln (81)) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 8.2.1.7

Multiplica $- 1$ por $5.45721359$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (374057.54800345) \ln (9) - 5.45721359 \ln (81) - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 8.2.1.8

Multiplica $- 5.45721359$ por $\ln (81)$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (374057.54800345) \ln (9) - 23.98144767 - 2.33606797 \ln (3) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 8.2.1.9

Simplifica $- 2.33606797 \ln (3)$ al mover $2.33606797$ dentro del algoritmo.

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (374057.54800345) \ln (9) - 23.98144767 - \ln (3^{2.33606797}) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 8.2.1.10

Eleva $3$ a la potencia de $2.33606797$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (161252.03194789) + \ln (374057.54800345) \ln (9) - 23.98144767 - \ln (13.0193015) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 8.2.1.11

Resta $23.98144767$ de $\ln (161252.03194789)$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{\ln (374057.54800345) \ln (9) - 11.99072383 - \ln (13.0193015) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 8.2.1.12

Resta $11.99072383$ de $\ln (374057.54800345) \ln (9)$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{16.20442434 - \ln (13.0193015) \ln (59049) + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 8.2.1.13

Resta $\ln (13.0193015) \ln (59049)$ de $16.20442434$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{- 11.99072383 + \ln (59049)}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 8.2.1.14

Suma $- 11.99072383$ y $\ln (59049)$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{({2.33606797}^{2} \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Eleva $2.33606797$ a la potencia de $2$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(5.45721359 \ln (3) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 8.2.2.2

Simplifica $5.45721359 \ln (3)$ al mover $5.45721359$ dentro del algoritmo.

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (3^{5.45721359}) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 8.2.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $5.45721359$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (401.56199016) + 5 \ln (3))}^{2}}$

Paso 8.2.2.4

Simplifica $5 \ln (3)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (401.56199016) + \ln (3^{5}))}^{2}}$

Paso 8.2.2.5

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{{(\ln (401.56199016) + \ln (243))}^{2}}$

Paso 8.2.2.6

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{\ln^{2} (401.56199016 \cdot 243)}$

Paso 8.2.2.7

Multiplica $401.56199016$ por $243$ .

$f'' (2.33606797) = \frac{- 1.00460094}{\ln^{2} (97579.56361088)}$

Paso 8.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (2.33606797) = - \frac{1.00460094}{\ln^{2} (97579.56361088)}$

Paso 8.2.4

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (2.33606797) = - \frac{1.00460094}{{\log_{2.71828182}}^{2} (97579.56361088)}$

Paso 8.2.5

El logaritmo en base $2.71828182$ de $97579.56361088$ es aproximadamente $11.48842336$ .

$f'' (2.33606797) = - \frac{1.00460094}{{11.48842336}^{2}}$

Paso 8.2.6

Eleva $11.48842336$ a la potencia de $2$ .

$f'' (2.33606797) = - \frac{1.00460094}{131.98387132}$

Paso 8.2.7

Divide $1.00460094$ por $131.98387132$ .

$f'' (2.33606797) = - 1 \cdot 0.00761154$

Paso 8.2.8

Multiplica $- 1$ por $0.00761154$ .

$f'' (2.33606797) = - 0.00761154$

Paso 8.2.9

La respuesta final es $- 0.00761154$ .

$- 0.00761154$

Paso 8.3

En $2.33606797$ , la segunda derivada es $- 0.00761154$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(2.23606797, \infty)$ .

Decrecimiento en $(2.23606797, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- 2.23606797, - 0.1401647), (2.23606797, 4.33197125)$ .

$(- 2.23606797, - 0.1401647), (2.23606797, 4.33197125)$

Paso 10