Cálculo Ejemplos

$f (x) = x - 9 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 1

Obtén las intersecciones con x.

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Paso 1.1

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

$0 = x - 9 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 1.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.1

Reescribe la ecuación como $x - 9 x^{\frac{1}{3}} = 0$ .

$x - 9 x^{\frac{1}{3}} = 0$

Paso 1.2.2

Obtén un factor común $x^{\frac{1}{3}}$ que esté presente en cada término.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} - 9 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 1.2.3

Sustituye $u$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(u)}^{3} - 9 u = 0$

Paso 1.2.4

Resuelve $u$

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Paso 1.2.4.1

Elimina los paréntesis.

$u^{3} - 9 u = 0$

Paso 1.2.4.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.4.2.1

Factoriza $u$ de $u^{3} - 9 u$ .

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Paso 1.2.4.2.1.1

Factoriza $u$ de $u^{3}$ .

$u \cdot u^{2} - 9 u = 0$

Paso 1.2.4.2.1.2

Factoriza $u$ de $- 9 u$ .

$u \cdot u^{2} + u \cdot - 9 = 0$

Paso 1.2.4.2.1.3

Factoriza $u$ de $u \cdot u^{2} + u \cdot - 9$ .

$u (u^{2} - 9) = 0$

Paso 1.2.4.2.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$u (u^{2} - 3^{2}) = 0$

Paso 1.2.4.2.3

Factoriza.

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Paso 1.2.4.2.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = u$ y $b = 3$ .

$u ((u + 3) (u - 3)) = 0$

Paso 1.2.4.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$u (u + 3) (u - 3) = 0$

Paso 1.2.4.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u = 0$

$u + 3 = 0$

$u - 3 = 0$

Paso 1.2.4.4

Establece $u$ igual a $0$ .

$u = 0$

Paso 1.2.4.5

Establece $u + 3$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 1.2.4.5.1

Establece $u + 3$ igual a $0$ .

$u + 3 = 0$

Paso 1.2.4.5.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 3$

Paso 1.2.4.6

Establece $u - 3$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 1.2.4.6.1

Establece $u - 3$ igual a $0$ .

$u - 3 = 0$

Paso 1.2.4.6.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 3$

Paso 1.2.4.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $u (u + 3) (u - 3) = 0$ verdadera.

$u = 0, - 3, 3$

Paso 1.2.5

Sustituye $x$ por $u$ .

$x^{\frac{1}{3}} = 0, - 3, 3$

Paso 1.2.6

Resuelve para $x^{\frac{1}{3}} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.6.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 1.2.6.2

Simplifica el exponente.

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Paso 1.2.6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.6.2.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.2.6.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.2.6.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 1.2.6.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.6.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 1.2.6.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 0^{3}$

Paso 1.2.6.2.1.1.2

Simplifica.

$x = 0^{3}$

Paso 1.2.6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.6.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.7

Resuelve para $x^{\frac{1}{3}} = - 3$ en $x$ .

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Paso 1.2.7.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 3)}^{3}$

Paso 1.2.7.2

Simplifica el exponente.

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Paso 1.2.7.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.7.2.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.2.7.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.2.7.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Paso 1.2.7.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.7.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Paso 1.2.7.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(- 3)}^{3}$

Paso 1.2.7.2.1.1.2

Simplifica.

$x = {(- 3)}^{3}$

Paso 1.2.7.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.7.2.2.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$x = - 27$

Paso 1.2.8

Resuelve para $x^{\frac{1}{3}} = 3$ en $x$ .

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Paso 1.2.8.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 3^{3}$

Paso 1.2.8.2

Simplifica el exponente.

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Paso 1.2.8.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.8.2.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.2.8.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.2.8.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Paso 1.2.8.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.8.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Paso 1.2.8.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 3^{3}$

Paso 1.2.8.2.1.1.2

Simplifica.

$x = 3^{3}$

Paso 1.2.8.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.8.2.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$x = 27$

Paso 1.2.9

Enumera todas las soluciones.

$x = 0, - 27, 27$

Paso 1.3

Intersección(es) con x en forma de punto.

Intersección(es) con x: $(0, 0), (- 27, 0), (27, 0)$

Paso 2

Obtén las intersecciones con y.

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Paso 2.1

Para obtener la(s) intersección(es) con y, sustituye $0$ por $x$ y resuelve para $y$ .

$y = (0) - 9 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 0 - 9 \cdot 0^{\frac{1}{3}}$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = (0) - 9 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 2.2.3

Simplifica $(0) - 9 {(0)}^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 2.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.3.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$y = 0 - 9 {(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 2.2.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 0 - 9 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Paso 2.2.3.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$y = 0 - 9 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Paso 2.2.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y = 0 - 9 \cdot 0^{1}$

Paso 2.2.3.1.4

Evalúa el exponente.

$y = 0 - 9 \cdot 0$

Paso 2.2.3.1.5

Multiplica $- 9$ por $0$ .

$y = 0 + 0$

Paso 2.2.3.2

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0$

Paso 2.3

Intersección(es) con y en forma de punto.

Intersección(es) con y: $(0, 0)$

Paso 3

Enumera las intersecciones.

Intersección(es) con x: $(0, 0), (- 27, 0), (27, 0)$

Intersección(es) con y: $(0, 0)$

Paso 4