Cálculo Ejemplos

$k^{2} (2 k + 3) + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$k^{2} (2 k) + k^{2} \cdot 3 + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

Paso 1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 k^{2} k + k^{2} \cdot 3 + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

Paso 1.3

Mueve $3$ a la izquierda de $k^{2}$ .

$2 k^{2} k + 3 \cdot k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

Paso 1.4

Multiplica $k^{2}$ por $k$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.1

Mueve $k$ .

$2 (k \cdot k^{2}) + 3 \cdot k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

Paso 1.4.2

Multiplica $k$ por $k^{2}$ .

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Paso 1.4.2.1

Eleva $k$ a la potencia de $1$ .

$2 (k^{1} k^{2}) + 3 \cdot k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

Paso 1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 k^{1 + 2} + 3 \cdot k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

Paso 1.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$2 k^{3} + 3 \cdot k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = {(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$

Paso 2

Simplifica ${(k + 1)}^{2} (2 k + 5)$ .

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Paso 2.1

Reescribe ${(k + 1)}^{2}$ como $(k + 1) (k + 1)$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k + 1) (k + 1) (2 k + 5)$

Paso 2.2

Expande $(k + 1) (k + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k (k + 1) + 1 (k + 1)) (2 k + 5)$

Paso 2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k \cdot k + k \cdot 1 + 1 (k + 1)) (2 k + 5)$

Paso 2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k \cdot k + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1) (2 k + 5)$

Paso 2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Multiplica $k$ por $k$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k^{2} + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1) (2 k + 5)$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $k$ por $1$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k^{2} + k + 1 k + 1 \cdot 1) (2 k + 5)$

Paso 2.3.1.3

Multiplica $k$ por $1$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k^{2} + k + k + 1 \cdot 1) (2 k + 5)$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k^{2} + k + k + 1) (2 k + 5)$

Paso 2.3.2

Suma $k$ y $k$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = (k^{2} + 2 k + 1) (2 k + 5)$

Paso 2.4

Expande $(k^{2} + 2 k + 1) (2 k + 5)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = k^{2} (2 k) + k^{2} \cdot 5 + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Paso 2.5

Simplifica los términos.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{2} k + k^{2} \cdot 5 + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $k^{2}$ por $k$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.1.2.1

Mueve $k$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 (k \cdot k^{2}) + k^{2} \cdot 5 + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Paso 2.5.1.2.2

Multiplica $k$ por $k^{2}$ .

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Paso 2.5.1.2.2.1

Eleva $k$ a la potencia de $1$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 (k^{1} k^{2}) + k^{2} \cdot 5 + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Paso 2.5.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{1 + 2} + k^{2} \cdot 5 + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Paso 2.5.1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + k^{2} \cdot 5 + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Paso 2.5.1.3

Mueve $5$ a la izquierda de $k^{2}$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 \cdot k^{2} + 2 k (2 k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Paso 2.5.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 2 \cdot 2 k \cdot k + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Paso 2.5.1.5

Multiplica $k$ por $k$ sumando los exponentes.

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Paso 2.5.1.5.1

Mueve $k$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 2 \cdot 2 (k \cdot k) + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Paso 2.5.1.5.2

Multiplica $k$ por $k$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 2 \cdot 2 k^{2} + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Paso 2.5.1.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 4 k^{2} + 2 k \cdot 5 + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Paso 2.5.1.7

Multiplica $5$ por $2$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 4 k^{2} + 10 k + 1 (2 k) + 1 \cdot 5$

Paso 2.5.1.8

Multiplica $2 k$ por $1$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 4 k^{2} + 10 k + 2 k + 1 \cdot 5$

Paso 2.5.1.9

Multiplica $5$ por $1$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 5 k^{2} + 4 k^{2} + 10 k + 2 k + 5$

Paso 2.5.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.5.2.1

Suma $5 k^{2}$ y $4 k^{2}$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 9 k^{2} + 10 k + 2 k + 5$

Paso 2.5.2.2

Suma $10 k$ y $2 k$ .

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 = 2 k^{3} + 9 k^{2} + 12 k + 5$

Paso 3

Mueve todos los términos que contengan $k$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Resta $2 k^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 - 2 k^{3} = 9 k^{2} + 12 k + 5$

Paso 3.2

Resta $9 k^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 - 2 k^{3} - 9 k^{2} = 12 k + 5$

Paso 3.3

Resta $12 k$ de ambos lados de la ecuación.

$2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 - 2 k^{3} - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Paso 3.4

Combina los términos opuestos en $2 k^{3} + 3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 - 2 k^{3} - 9 k^{2} - 12 k$ .

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Paso 3.4.1

Resta $2 k^{3}$ de $2 k^{3}$ .

$3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 + 0 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Paso 3.4.2

Suma $3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1$ y $0$ .

$3 k^{2} + 6 {(k + 1)}^{2} - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Paso 3.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.1

Reescribe ${(k + 1)}^{2}$ como $(k + 1) (k + 1)$ .

$3 k^{2} + 6 ((k + 1) (k + 1)) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Paso 3.5.2

Expande $(k + 1) (k + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 k^{2} + 6 (k (k + 1) + 1 (k + 1)) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Paso 3.5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 k^{2} + 6 (k \cdot k + k \cdot 1 + 1 (k + 1)) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Paso 3.5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 k^{2} + 6 (k \cdot k + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Paso 3.5.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.3.1.1

Multiplica $k$ por $k$ .

$3 k^{2} + 6 (k^{2} + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Paso 3.5.3.1.2

Multiplica $k$ por $1$ .

$3 k^{2} + 6 (k^{2} + k + 1 k + 1 \cdot 1) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Paso 3.5.3.1.3

Multiplica $k$ por $1$ .

$3 k^{2} + 6 (k^{2} + k + k + 1 \cdot 1) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Paso 3.5.3.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$3 k^{2} + 6 (k^{2} + k + k + 1) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Paso 3.5.3.2

Suma $k$ y $k$ .

$3 k^{2} + 6 (k^{2} + 2 k + 1) - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Paso 3.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$3 k^{2} + 6 k^{2} + 6 (2 k) + 6 \cdot 1 - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Paso 3.5.5

Simplifica.

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Paso 3.5.5.1

Multiplica $2$ por $6$ .

$3 k^{2} + 6 k^{2} + 12 k + 6 \cdot 1 - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Paso 3.5.5.2

Multiplica $6$ por $1$ .

$3 k^{2} + 6 k^{2} + 12 k + 6 - 1 - 9 k^{2} - 12 k = 5$

Paso 3.6

Combina los términos opuestos en $3 k^{2} + 6 k^{2} + 12 k + 6 - 1 - 9 k^{2} - 12 k$ .

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Paso 3.6.1

Resta $12 k$ de $12 k$ .

$3 k^{2} + 6 k^{2} + 6 - 1 - 9 k^{2} + 0 = 5$

Paso 3.6.2

Suma $3 k^{2} + 6 k^{2} + 6 - 1 - 9 k^{2}$ y $0$ .

$3 k^{2} + 6 k^{2} + 6 - 1 - 9 k^{2} = 5$

Paso 3.7

Suma $3 k^{2}$ y $6 k^{2}$ .

$9 k^{2} + 6 - 1 - 9 k^{2} = 5$

Paso 3.8

Combina los términos opuestos en $9 k^{2} + 6 - 1 - 9 k^{2}$ .

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Paso 3.8.1

Resta $9 k^{2}$ de $9 k^{2}$ .

$0 + 6 - 1 = 5$

Paso 3.8.2

Suma $0$ y $6$ .

$6 - 1 = 5$

Paso 3.9

Resta $1$ de $6$ .

$5 = 5$

Paso 4

Como $5 = 5$ , la ecuación siempre será verdadera para cualquier valor de $k$ .

Todos los números reales

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Todos los números reales

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$