Cálculo Ejemplos

$- \frac{12000}{r^{2}} + \frac{16 π r}{3} = 0$

Paso 1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$r^{2}, 3, 1$

Paso 1.2

Como $r^{2}, 3, 1$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $1, 3, 1$ y, luego, obtén el MCM para la parte variable $r^{2}$ .

Paso 1.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 1.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 1.5

Como $3$ no tiene factores además de $1$ y $3$ .

$3$ es un número primo

Paso 1.6

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 1.7

El MCM de $1, 3, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$3$

Paso 1.8

Los factores para $r^{2}$ son $r \cdot r$ , que es $r$ multiplicada una por la otra $2$ veces.

$r^{2} = r \cdot r$

$r$ ocurre $2$ veces.

Paso 1.9

El MCM de $r^{2}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$r \cdot r$

Paso 1.10

Multiplica $r$ por $r$ .

$r^{2}$

Paso 1.11

El MCM para $r^{2}, 3, 1$ es la parte numérica $3$ multiplicada por la parte variable.

$3 r^{2}$

Paso 2

Multiplica cada término en $- \frac{12000}{r^{2}} + \frac{16 π r}{3} = 0$ por $3 r^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.1

Multiplica cada término en $- \frac{12000}{r^{2}} + \frac{16 π r}{3} = 0$ por $3 r^{2}$ .

$- \frac{12000}{r^{2}} (3 r^{2}) + \frac{16 π r}{3} (3 r^{2}) = 0 (3 r^{2})$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común de $r^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{12000}{r^{2}}$ al numerador.

$\frac{- 12000}{r^{2}} (3 r^{2}) + \frac{16 π r}{3} (3 r^{2}) = 0 (3 r^{2})$

Paso 2.2.1.1.2

Factoriza $r^{2}$ de $3 r^{2}$ .

$\frac{- 12000}{r^{2}} (r^{2} \cdot 3) + \frac{16 π r}{3} (3 r^{2}) = 0 (3 r^{2})$

Paso 2.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 12000}{r^{2}} (r^{2} \cdot 3) + \frac{16 π r}{3} (3 r^{2}) = 0 (3 r^{2})$

Paso 2.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- 12000 \cdot 3 + \frac{16 π r}{3} (3 r^{2}) = 0 (3 r^{2})$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 12000$ por $3$ .

$- 36000 + \frac{16 π r}{3} (3 r^{2}) = 0 (3 r^{2})$

Paso 2.2.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 36000 + 3 \frac{16 π r}{3} r^{2} = 0 (3 r^{2})$

Paso 2.2.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$- 36000 + 3 \frac{16 π r}{3} r^{2} = 0 (3 r^{2})$

Paso 2.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$- 36000 + 16 π r \cdot r^{2} = 0 (3 r^{2})$

Paso 2.2.1.5

Multiplica $r$ por $r^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.5.1

Mueve $r^{2}$ .

$- 36000 + 16 π (r^{2} r) = 0 (3 r^{2})$

Paso 2.2.1.5.2

Multiplica $r^{2}$ por $r$ .

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Paso 2.2.1.5.2.1

Eleva $r$ a la potencia de $1$ .

$- 36000 + 16 π (r^{2} r^{1}) = 0 (3 r^{2})$

Paso 2.2.1.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 36000 + 16 π r^{2 + 1} = 0 (3 r^{2})$

Paso 2.2.1.5.3

Suma $2$ y $1$ .

$- 36000 + 16 π r^{3} = 0 (3 r^{2})$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Multiplica $0 (3 r^{2})$ .

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Paso 2.3.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$- 36000 + 16 π r^{3} = 0 r^{2}$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $0$ por $r^{2}$ .

$- 36000 + 16 π r^{3} = 0$

Paso 3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.1

Suma $36000$ a ambos lados de la ecuación.

$16 π r^{3} = 36000$

Paso 3.2

Resta $36000$ de ambos lados de la ecuación.

$16 π r^{3} - 36000 = 0$

Paso 3.3

Factoriza $16$ de $16 π r^{3} - 36000$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $16$ de $16 π r^{3}$ .

$16 (π r^{3}) - 36000 = 0$

Paso 3.3.2

Factoriza $16$ de $- 36000$ .

$16 (π r^{3}) + 16 \cdot - 2250 = 0$

Paso 3.3.3

Factoriza $16$ de $16 (π r^{3}) + 16 \cdot - 2250$ .

$16 (π r^{3} - 2250) = 0$

Paso 3.4

Divide cada término en $16 (π r^{3} - 2250) = 0$ por $16$ y simplifica.

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Paso 3.4.1

Divide cada término en $16 (π r^{3} - 2250) = 0$ por $16$ .

$\frac{16 (π r^{3} - 2250)}{16} = \frac{0}{16}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{16 (π r^{3} - 2250)}{16} = \frac{0}{16}$

Paso 3.4.2.1.2

Divide $π r^{3} - 2250$ por $1$ .

$π r^{3} - 2250 = \frac{0}{16}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Divide $0$ por $16$ .

$π r^{3} - 2250 = 0$

Paso 3.5

Suma $2250$ a ambos lados de la ecuación.

$π r^{3} = 2250$

Paso 3.6

Divide cada término en $π r^{3} = 2250$ por $π$ y simplifica.

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Paso 3.6.1

Divide cada término en $π r^{3} = 2250$ por $π$ .

$\frac{π r^{3}}{π} = \frac{2250}{π}$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.1

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 3.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{π r^{3}}{π} = \frac{2250}{π}$

Paso 3.6.2.1.2

Divide $r^{3}$ por $1$ .

$r^{3} = \frac{2250}{π}$

Paso 3.7

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$r = \sqrt[3]{\frac{2250}{π}}$

Paso 3.8

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{2250}{π}}$ .

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Paso 3.8.1

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{2250}{π}}$ como $\frac{\sqrt[3]{2250}}{\sqrt[3]{π}}$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{2250}}{\sqrt[3]{π}}$

Paso 3.8.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.8.2.1

Reescribe $2250$ como $5^{3} \cdot 18$ .

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Paso 3.8.2.1.1

Factoriza $125$ de $2250$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{125 (18)}}{\sqrt[3]{π}}$

Paso 3.8.2.1.2

Reescribe $125$ como $5^{3}$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{5^{3} \cdot 18}}{\sqrt[3]{π}}$

Paso 3.8.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$r = \frac{5 \sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{π}}$

Paso 3.8.3

Multiplica $\frac{5 \sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{π}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{π}}^{2}}{{\sqrt[3]{π}}^{2}}$ .

$r = \frac{5 \sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{π}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{π}}^{2}}{{\sqrt[3]{π}}^{2}}$

Paso 3.8.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.8.4.1

Multiplica $\frac{5 \sqrt[3]{18}}{\sqrt[3]{π}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{π}}^{2}}{{\sqrt[3]{π}}^{2}}$ .

$r = \frac{5 \sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{π}}^{2}}{\sqrt[3]{π} {\sqrt[3]{π}}^{2}}$

Paso 3.8.4.2

Eleva $\sqrt[3]{π}$ a la potencia de $1$ .

$r = \frac{5 \sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{π}}^{2}}{{\sqrt[3]{π}}^{1} {\sqrt[3]{π}}^{2}}$

Paso 3.8.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$r = \frac{5 \sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{π}}^{2}}{{\sqrt[3]{π}}^{1 + 2}}$

Paso 3.8.4.4

Suma $1$ y $2$ .

$r = \frac{5 \sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{π}}^{2}}{{\sqrt[3]{π}}^{3}}$

Paso 3.8.4.5

Reescribe ${\sqrt[3]{π}}^{3}$ como $π$ .

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Paso 3.8.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{π}$ como $π^{\frac{1}{3}}$ .

$r = \frac{5 \sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{π}}^{2}}{{(π^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 3.8.4.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \frac{5 \sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{π}}^{2}}{π^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 3.8.4.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$r = \frac{5 \sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{π}}^{2}}{π^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.8.4.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.8.4.5.4.1

Cancela el factor común.

$r = \frac{5 \sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{π}}^{2}}{π^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.8.4.5.4.2

Reescribe la expresión.

$r = \frac{5 \sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{π}}^{2}}{π^{1}}$

Paso 3.8.4.5.5

Simplifica.

$r = \frac{5 \sqrt[3]{18} {\sqrt[3]{π}}^{2}}{π}$

Paso 3.8.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.8.5.1

Reescribe ${\sqrt[3]{π}}^{2}$ como $\sqrt[3]{π^{2}}$ .

$r = \frac{5 \sqrt[3]{18} \sqrt[3]{π^{2}}}{π}$

Paso 3.8.5.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$r = \frac{5 \sqrt[3]{π^{2} \cdot 18}}{π}$

Paso 3.8.6

Mueve $18$ a la izquierda de $π^{2}$ .

$r = \frac{5 \sqrt[3]{18 π^{2}}}{π}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$r = \frac{5 \sqrt[3]{18 π^{2}}}{π}$

Forma decimal:

$r = 8.94700228 \dots$