Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} e^{- x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$f' (x) = x^{4} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Paso 1.1.3.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{4} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Paso 1.1.3.3.3

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Paso 1.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Reordena los términos.

$f' (x) = - e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$

Paso 1.1.4.2

Reordena los factores en $- e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$ .

$f' (x) = - x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ .

$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x} = 0$

Paso 2.2

Factoriza $x^{3} e^{- x}$ de $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $x^{3} e^{- x}$ de $- x^{4} e^{- x}$ .

$x^{3} e^{- x} (- x) + 4 x^{3} e^{- x} = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $x^{3} e^{- x}$ de $4 x^{3} e^{- x}$ .

$x^{3} e^{- x} (- x) + x^{3} e^{- x} (4) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $x^{3} e^{- x}$ de $x^{3} e^{- x} (- x) + x^{3} e^{- x} (4)$ .

$x^{3} e^{- x} (- x + 4) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

$e^{- x} = 0$

$- x + 4 = 0$

Paso 2.4

Establece $x^{3}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x^{3}$ igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $x^{3} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 2.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 2.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $e^{- x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $e^{- x}$ igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $e^{- x} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Paso 2.5.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 2.5.2.3

No hay soluciones para $e^{- x} = 0$

No hay solución

Paso 2.6

Establece $- x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $- x + 4$ igual a $0$ .

$- x + 4 = 0$

Paso 2.6.2

Resuelve $- x + 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.6.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 4$

Paso 2.6.2.2

Divide cada término en $- x = - 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.6.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 2.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.6.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 2.6.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Paso 2.6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.6.2.2.3.1

Divide $- 4$ por $- 1$ .

$x = 4$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x^{3} e^{- x} (- x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, 4$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, 4$ .

$0, 4$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = - {(- 1)}^{4} e^{- (- 1)} + 4 {(- 1)}^{3} e^{- (- 1)}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{4}$ .

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Paso 5.2.1.1.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f' (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{4} e^{- (- 1)} + 4 {(- 1)}^{3} e^{- (- 1)}$

Paso 5.2.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{1 + 4} e^{- (- 1)} + 4 {(- 1)}^{3} e^{- (- 1)}$

Paso 5.2.1.1.2

Suma $1$ y $4$ .

$f' (- 1) = {(- 1)}^{5} e^{- (- 1)} + 4 {(- 1)}^{3} e^{- (- 1)}$

Paso 5.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $5$ .

$f' (- 1) = - 1 e^{- (- 1)} + 4 {(- 1)}^{3} e^{- (- 1)}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 1 e + 4 {(- 1)}^{3} e^{- (- 1)}$

Paso 5.2.1.4

Simplifica.

$f' (- 1) = - 1 e + 4 {(- 1)}^{3} e^{- (- 1)}$

Paso 5.2.1.5

Reescribe $- 1 e$ como $- e$ .

$f' (- 1) = - e + 4 {(- 1)}^{3} e^{- (- 1)}$

Paso 5.2.1.6

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 1) = - e + 4 \cdot (- 1 e^{- (- 1)})$

Paso 5.2.1.7

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - e - 4 e^{- (- 1)}$

Paso 5.2.1.8

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - e - 4 e$

Paso 5.2.1.9

Simplifica.

$f' (- 1) = - e - 4 e$

Paso 5.2.2

Resta $4 e$ de $- e$ .

$f' (- 1) = - 5 e$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 5 e$ .

$- 5 e$

Paso 5.3

En $x = - 1$ la derivada es $- 5 e$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(0, 4)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = - {(2)}^{4} e^{- (2)} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f' (2) = - 1 \cdot (16 e^{- (2)}) + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$f' (2) = - 16 e^{- (2)} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (2) = - 16 e^{- 2} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Paso 6.2.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (2) = - 16 \frac{1}{e^{2}} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Paso 6.2.1.5

Combina $- 16$ y $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (2) = \frac{- 16}{e^{2}} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Paso 6.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Paso 6.2.1.7

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 4 \cdot (8 e^{- (2)})$

Paso 6.2.1.8

Multiplica $4$ por $8$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 32 e^{- (2)}$

Paso 6.2.1.9

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 32 e^{- 2}$

Paso 6.2.1.10

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 32 (\frac{1}{e^{2}})$

Paso 6.2.1.11

Combina $32$ y $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + \frac{32}{e^{2}}$

Paso 6.2.2

Combina fracciones.

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Paso 6.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (2) = \frac{- 16 + 32}{e^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $- 16$ y $32$ .

$f' (2) = \frac{16}{e^{2}}$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $\frac{16}{e^{2}}$ .

$\frac{16}{e^{2}}$

Paso 6.3

En $x = 2$ la derivada es $\frac{16}{e^{2}}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, 4)$ .

Incremento en $(0, 4)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(4, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f' (5) = - {(5)}^{4} e^{- (5)} + 4 {(5)}^{3} e^{- (5)}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $4$ .

$f' (5) = - 1 \cdot (625 e^{- (5)}) + 4 {(5)}^{3} e^{- (5)}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $625$ .

$f' (5) = - 625 e^{- (5)} + 4 {(5)}^{3} e^{- (5)}$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f' (5) = - 625 e^{- 5} + 4 {(5)}^{3} e^{- (5)}$

Paso 7.2.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (5) = - 625 \frac{1}{e^{5}} + 4 {(5)}^{3} e^{- (5)}$

Paso 7.2.1.5

Combina $- 625$ y $\frac{1}{e^{5}}$ .

$f' (5) = \frac{- 625}{e^{5}} + 4 {(5)}^{3} e^{- (5)}$

Paso 7.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (5) = - \frac{625}{e^{5}} + 4 {(5)}^{3} e^{- (5)}$

Paso 7.2.1.7

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$f' (5) = - \frac{625}{e^{5}} + 4 \cdot (125 e^{- (5)})$

Paso 7.2.1.8

Multiplica $4$ por $125$ .

$f' (5) = - \frac{625}{e^{5}} + 500 e^{- (5)}$

Paso 7.2.1.9

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f' (5) = - \frac{625}{e^{5}} + 500 e^{- 5}$

Paso 7.2.1.10

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (5) = - \frac{625}{e^{5}} + 500 (\frac{1}{e^{5}})$

Paso 7.2.1.11

Combina $500$ y $\frac{1}{e^{5}}$ .

$f' (5) = - \frac{625}{e^{5}} + \frac{500}{e^{5}}$

Paso 7.2.2

Combina fracciones.

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Paso 7.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (5) = \frac{- 625 + 500}{e^{5}}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.2.2.1

Suma $- 625$ y $500$ .

$f' (5) = \frac{- 125}{e^{5}}$

Paso 7.2.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (5) = - \frac{125}{e^{5}}$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- \frac{125}{e^{5}}$ .

$- \frac{125}{e^{5}}$

Paso 7.3

En $x = 5$ la derivada es $- \frac{125}{e^{5}}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(4, \infty)$ .

Decrecimiento en $(4, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(0, 4)$

Decrecimiento en: $(- \infty, 0), (4, \infty)$

Paso 9