Cálculo Ejemplos

$y = 5 e^{- x}$ ; $[0, 2]$

Paso 1

Escribe $y = 5 e^{- x}$ como una función.

$f (x) = 5 e^{- x}$

Paso 2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

$f (x)$ es continua en $[0, 2]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 4

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 5

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 5 e^{- x} d x)$

Paso 6

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (5 \int_{0}^{2} e^{- x} d x)$

Paso 7

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 7.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 7.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 7.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Paso 7.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 7.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

Paso 7.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$u_{upper} = - 2$

Paso 7.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Paso 7.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (5 \int_{0}^{- 2} - e^{u} d u)$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (5 (- \int_{0}^{- 2} e^{u} d u))$

Paso 9

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 \int_{0}^{- 2} e^{u} d u)$

Paso 10

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 (e^{u}]_{0}^{- 2}))$

Paso 11

Sustituye y simplifica.

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Paso 11.1

Evalúa $e^{u}$ en $- 2$ y en $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 ((e^{- 2}) - e^{0}))$

Paso 11.2

Simplifica.

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Paso 11.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 (e^{- 2} - 1 \cdot 1))$

Paso 11.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 (e^{- 2} - 1))$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 (\frac{1}{e^{2}} - 1))$

Paso 12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 5 \frac{1}{e^{2}} - 5 \cdot - 1)$

Paso 12.3

Combina $- 5$ y $\frac{1}{e^{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{- 5}{e^{2}} - 5 \cdot - 1)$

Paso 12.4

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{- 5}{e^{2}} + 5)$

Paso 12.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- \frac{5}{e^{2}} + 5)$

Paso 13

Simplifica el denominador.

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Paso 13.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot (- \frac{5}{e^{2}} + 5)$

Paso 13.2

Suma $2$ y $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{5}{e^{2}} + 5)$

Paso 14

Simplifica los términos.

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Paso 14.1

Aplica la propiedad distributiva.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{5}{e^{2}}) + \frac{1}{2} \cdot 5$

Paso 14.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{5}{e^{2}}$ .

$A (x) = - \frac{5}{2 e^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 5$

Paso 14.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $5$ .

$A (x) = - \frac{5}{2 e^{2}} + \frac{5}{2}$

Paso 15