Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 4}$ ; $[- 2, 2]$

Paso 1

Para obtener el valor promedio de una función, la función debe ser continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ . Para determinar si $f (x)$ es continua en $[- 2, 2]$ o no, obtén el dominio de $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 4}$ .

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Paso 1.1

Establece el denominador en $\frac{1}{x^{2} + 4}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} + 4 = 0$

Paso 1.2

Resuelve $x$

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Paso 1.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 4$

Paso 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Paso 1.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Paso 1.2.3.1

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Paso 1.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Paso 1.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Paso 1.2.3.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Paso 1.2.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Paso 1.2.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Paso 1.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2 i$

Paso 1.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2 i$

Paso 1.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2 i, - 2 i$

Paso 1.3

El dominio son todos números reales.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 2

$f (x)$ es continua en $[- 2, 2]$ .

$f (x)$ es continua

Paso 3

El valor promedio de una función $f$ en el intervalo $[a, b]$ se define como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Paso 4

Sustituye los valores reales en la fórmula por el valor promedio de una función.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{1}{x^{2} + 4} d x)$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Reordena $x^{2}$ y $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{1}{4 + x^{2}} d x)$

Paso 5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x)$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})]_{- 2}^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{1}{2} \cdot \arctan (\frac{x}{2})]_{- 2}^{2})$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}]_{- 2}^{2})$

Paso 7.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.2.1

Evalúa $\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}$ en $2$ y en $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} ((\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2}) - \frac{\arctan (\frac{- 2}{2})}{2})$

Paso 7.2.2

Simplifica.

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2} - \frac{\arctan (\frac{- 2}{2})}{2})$

Paso 7.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{- 2}{2})}{2})$

Paso 7.2.2.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 7.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot - 1}{2})}{2})$

Paso 7.2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)})}{2})$

Paso 7.2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1})}{2})$

Paso 7.2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{- 1}{1})}{2})$

Paso 7.2.2.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (- 1)}{2})$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1) - \arctan (- 1)}{2})$

Paso 7.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.2.1

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} - \arctan (- 1)}{2})$

Paso 7.3.2.2

El valor exacto de $\arctan (- 1)$ es $- \frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} + \frac{π}{4}}{2})$

Paso 7.3.2.3

Multiplica $- - \frac{π}{4}$ .

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Paso 7.3.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} + 1 (\frac{π}{4})}{2})$

Paso 7.3.2.3.2

Multiplica $\frac{π}{4}$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} + \frac{π}{4}}{2})$

Paso 7.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π + π}{4}}{2})$

Paso 7.3.4

Suma $π$ y $π$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 π}{4}}{2})$

Paso 7.3.5

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 7.3.5.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 (π)}{4}}{2})$

Paso 7.3.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.5.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 π}{2 \cdot 2}}{2})$

Paso 7.3.5.2.2

Cancela el factor común.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 π}{2 \cdot 2}}{2})$

Paso 7.3.5.2.3

Reescribe la expresión.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Paso 7.3.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Paso 7.3.7

Multiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 7.3.7.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{π}{2 \cdot 2})$

Paso 7.3.7.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{π}{4})$

Paso 8

Suma $2$ y $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{π}{4}$

Paso 9

Multiplica $\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{4}$ .

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Paso 9.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{π}{4 \cdot 4}$

Paso 9.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$A (x) = \frac{π}{16}$

Paso 10