Cálculo Ejemplos

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 1

Escribe $- e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ como una función.

$f (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ .

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Paso 2.1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$f' (x) = - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{2}))$

Paso 2.1.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = - (e^{u} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{2}))$

Paso 2.1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$f' (x) = - (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{2}))$

Paso 2.1.1.3

Diferencia.

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Paso 2.1.1.3.1

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{2})$

Paso 2.1.1.3.2

Combina fracciones.

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Paso 2.1.1.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = 1 e^{- \frac{x^{2}}{2}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Paso 2.1.1.3.2.2

Multiplica $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Paso 2.1.1.3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 2.1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \cdot (2 x)$

Paso 2.1.1.3.4

Simplifica los términos.

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Paso 2.1.1.3.4.1

Combina $2$ y $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \cdot x$

Paso 2.1.1.3.4.2

Combina $\frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ y $x$ .

$f' (x) = \frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Paso 2.1.1.3.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.1.3.4.3.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Paso 2.1.1.3.4.3.2

Divide $e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ por $1$ .

$f' (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$

Paso 2.1.1.3.4.4

Reordena los factores en $e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$f' (x) = x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{2}}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$f'' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{2})) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{2})) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$f'' (x) = x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{2})) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.2.3

Diferencia.

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Paso 2.1.2.3.1

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{x^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.2.3.2

Combina fracciones.

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Paso 2.1.2.3.2.1

Combina $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{2}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.2.3.2.2

Combina $x$ y $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \cdot (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.2.3.4

Combina fracciones.

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Paso 2.1.2.3.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \cdot x + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.2.3.4.2

Combina $- 2$ y $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} \cdot x + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.2.3.4.3

Combina $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2}$ y $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}}) x}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.2.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.2.7

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.1.2.7.1

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.2.7.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 2.1.2.7.2.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.2.7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.7.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2 (1)} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.2.7.2.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2 \cdot 1} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.2.7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{1} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.2.7.2.2.4

Divide $- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = - x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1$

Paso 2.1.2.9

Multiplica $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = - x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$ .

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Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ de $- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Factoriza $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ de $- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x^{2}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

Paso 2.2.2.1.2

Multiplica por $1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x^{2}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1 = 0$

Paso 2.2.2.1.3

Factoriza $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ de $e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x^{2}) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x^{2} + 1) = 0$

Paso 2.2.2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x^{2} + 1^{2}) = 0$

Paso 2.2.2.3

Reordena $- x^{2}$ y $1^{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (1^{2} - x^{2}) = 0$

Paso 2.2.2.4

Factoriza.

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Paso 2.2.2.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} ((1 + x) (1 - x)) = 0$

Paso 2.2.2.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (1 + x) (1 - x) = 0$

Paso 2.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Paso 2.2.4

Establece $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.2.4.1

Establece $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ igual a $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

Paso 2.2.4.2

Resuelve $e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.2.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- \frac{x^{2}}{2}}) = \ln (0)$

Paso 2.2.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 2.2.4.2.3

No hay soluciones para $e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

No hay solución

Paso 2.2.5

Establece $1 + x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.2.5.1

Establece $1 + x$ igual a $0$ .

$1 + x = 0$

Paso 2.2.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.2.6

Establece $1 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.2.6.1

Establece $1 - x$ igual a $0$ .

$1 - x = 0$

Paso 2.2.6.2

Resuelve $1 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 2.2.6.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 1$

Paso 2.2.6.2.2

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.2.6.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.2.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.6.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.2.6.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.2.6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.6.2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Paso 2.2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{- \frac{x^{2}}{2}} (1 + x) (1 - x) = 0$ verdadera.

$x = - 1, 1$

Paso 3

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f'' (- 4) = - {(- 4)}^{2} e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}} + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 4) = - 1 \cdot (16 e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}) + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$f'' (- 4) = - 16 e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}} + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 4) = - 16 e^{- \frac{16}{2}} + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Paso 5.2.1.4

Divide $16$ por $2$ .

$f'' (- 4) = - 16 e^{- 1 \cdot 8} + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Paso 5.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$f'' (- 4) = - 16 e^{- 8} + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Paso 5.2.1.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = - 16 \frac{1}{e^{8}} + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Paso 5.2.1.7

Combina $- 16$ y $\frac{1}{e^{8}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 16}{e^{8}} + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Paso 5.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 4) = - \frac{16}{e^{8}} + e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

Paso 5.2.1.9

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{16}{e^{8}} + e^{- \frac{16}{2}}$

Paso 5.2.1.10

Divide $16$ por $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{16}{e^{8}} + e^{- 1 \cdot 8}$

Paso 5.2.1.11

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$f'' (- 4) = - \frac{16}{e^{8}} + e^{- 8}$

Paso 5.2.1.12

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = - \frac{16}{e^{8}} + \frac{1}{e^{8}}$

Paso 5.2.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (- 4) = \frac{- 16 + 1}{e^{8}}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.2.2.1

Suma $- 16$ y $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 15}{e^{8}}$

Paso 5.2.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 4) = - \frac{15}{e^{8}}$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- \frac{15}{e^{8}}$ .

$- \frac{15}{e^{8}}$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, - 1)$ porque $f'' (- 4)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, - 1)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6

Sustituye cualquier número del intervalo $(- 1, 1)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = - {(0)}^{2} e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}} + e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}} + e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}} + e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Paso 6.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- \frac{0}{2}} + e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Paso 6.2.1.4

Divide $0$ por $2$ .

$f'' (0) = 0 e^{- 0} + e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Paso 6.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{0} + e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Paso 6.2.1.6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 + e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Paso 6.2.1.7

Multiplica $0$ por $1$ .

$f'' (0) = 0 + e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

Paso 6.2.1.8

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = 0 + e^{- \frac{0}{2}}$

Paso 6.2.1.9

Divide $0$ por $2$ .

$f'' (0) = 0 + e^{- 0}$

Paso 6.2.1.10

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 + e^{0}$

Paso 6.2.1.11

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f'' (0) = 0 + 1$

Paso 6.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$f'' (0) = 1$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 6.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(- 1, 1)$ porque $f'' (0)$ es positiva.

Convexo en $(- 1, 1)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 7

Sustituye cualquier número del intervalo $(1, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f'' (4) = - {(4)}^{2} e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}} + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (4) = - 1 \cdot (16 e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}) + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$f'' (4) = - 16 e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}} + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Paso 7.2.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (4) = - 16 e^{- \frac{16}{2}} + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Paso 7.2.1.4

Divide $16$ por $2$ .

$f'' (4) = - 16 e^{- 1 \cdot 8} + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Paso 7.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$f'' (4) = - 16 e^{- 8} + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Paso 7.2.1.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (4) = - 16 \frac{1}{e^{8}} + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Paso 7.2.1.7

Combina $- 16$ y $\frac{1}{e^{8}}$ .

$f'' (4) = \frac{- 16}{e^{8}} + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Paso 7.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (4) = - \frac{16}{e^{8}} + e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

Paso 7.2.1.9

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (4) = - \frac{16}{e^{8}} + e^{- \frac{16}{2}}$

Paso 7.2.1.10

Divide $16$ por $2$ .

$f'' (4) = - \frac{16}{e^{8}} + e^{- 1 \cdot 8}$

Paso 7.2.1.11

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$f'' (4) = - \frac{16}{e^{8}} + e^{- 8}$

Paso 7.2.1.12

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (4) = - \frac{16}{e^{8}} + \frac{1}{e^{8}}$

Paso 7.2.2

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (4) = \frac{- 16 + 1}{e^{8}}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.2.1

Suma $- 16$ y $1$ .

$f'' (4) = \frac{- 15}{e^{8}}$

Paso 7.2.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (4) = - \frac{15}{e^{8}}$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- \frac{15}{e^{8}}$ .

$- \frac{15}{e^{8}}$

Paso 7.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(1, \infty)$ porque $f'' (4)$ es negativa.

Cóncavo en $(1, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 8

La gráfica es cóncava cuando la segunda derivada es negativa y convexa cuando la segunda derivada es positiva.

Cóncavo en $(- \infty, - 1)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Convexo en $(- 1, 1)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Cóncavo en $(1, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 9