Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt[3]{x}$ , $y = \frac{1}{x}$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$\sqrt[3]{x} = \frac{1}{x}$

Paso 1.2

Resuelve $\sqrt[3]{x} = \frac{1}{x}$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Paso 1.2.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 1.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Paso 1.2.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Paso 1.2.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Paso 1.2.2.2.1.2

Simplifica.

$x = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Paso 1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.1

Simplifica ${(\frac{1}{x})}^{3}$ .

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Paso 1.2.2.3.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{x}$ .

$x = \frac{1^{3}}{x^{3}}$

Paso 1.2.2.3.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{1}{x^{3}}$

Paso 1.2.3

Resuelve $x$

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Paso 1.2.3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.2.3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x^{3} + y = \frac{1}{x}$

Paso 1.2.3.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{3} + y = \frac{1}{x}$

Paso 1.2.3.2

Multiplica cada término en $x = \frac{1}{x^{3}}$ por $x^{3}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 1.2.3.2.1

Multiplica cada término en $x = \frac{1}{x^{3}}$ por $x^{3}$ .

$x \cdot x^{3} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Paso 1.2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.2.1

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.3.2.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} x^{3} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Paso 1.2.3.2.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{1 + 3} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Paso 1.2.3.2.2.1.2

Suma $1$ y $3$ .

$x^{4} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Paso 1.2.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.3.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 1.2.3.2.3.1.1

Cancela el factor común.

$x^{4} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Paso 1.2.3.2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$x^{4} = 1$

Paso 1.2.3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.3.3.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

Paso 1.2.3.3.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 1.2.3.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.3.3.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 1.2.3.3.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 1.2.3.3.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 1$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$y = \frac{1}{1}$

Paso 1.3.2

Sustituye $1$ por $x$ en $y = \frac{1}{1}$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{1}{1}$

Paso 1.3.2.2

Divide $1$ por $1$ .

$y = 1$

Paso 1.4

Evalúa $y$ cuando $x = - 1$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$y = \frac{1}{- 1}$

Paso 1.4.2

Divide $1$ por $- 1$ .

$y = - 1$

Paso 1.5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(1, 1)$

$(- 1, - 1)$

$(1, 1)$

$(- 1, - 1)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} d x - \int_{- 1}^{1} \sqrt[3]{x} d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $- 1$ y $1$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} - (\sqrt[3]{x}) d x$

Paso 3.2

Multiplica $- 1$ por $\sqrt[3]{x}$ .

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} - \sqrt[3]{x} d x$

Paso 3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} d x + \int_{- 1}^{1} - \sqrt[3]{x} d x$

Paso 3.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - \sqrt[3]{x} d x$

Paso 3.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} \sqrt[3]{x} d x$

Paso 3.6

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x$

Paso 3.7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{1})$

Paso 3.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.8.1

Combina $\frac{3}{4}$ y $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1})$

Paso 3.8.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.8.2.1

Evalúa $\ln (| x |)$ en $1$ y en $- 1$ .

$(\ln (| 1 |)) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1})$

Paso 3.8.2.2

Evalúa $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$ en $1$ y en $- 1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Paso 3.8.2.3

Simplifica.

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Paso 3.8.2.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3 \cdot 1}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Paso 3.8.2.3.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Paso 3.8.2.3.3

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Paso 3.8.2.3.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Paso 3.8.2.3.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.8.2.3.5.1

Cancela el factor común.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Paso 3.8.2.3.5.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{4}}{4})$

Paso 3.8.2.3.6

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 1}{4})$

Paso 3.8.2.3.7

Multiplica $3$ por $1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3}{4})$

Paso 3.8.2.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{3 - 3}{4}$

Paso 3.8.2.3.9

Resta $3$ de $3$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{0}{4}$

Paso 3.8.2.3.10

Cancela el factor común de $0$ y $4$ .

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Paso 3.8.2.3.10.1

Factoriza $4$ de $0$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{4 (0)}{4}$

Paso 3.8.2.3.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.8.2.3.10.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Paso 3.8.2.3.10.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Paso 3.8.2.3.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{0}{1}$

Paso 3.8.2.3.10.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - 0$

Paso 3.8.2.3.11

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) + 0$

Paso 3.8.2.3.12

Suma $\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |)$ y $0$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |)$

Paso 3.8.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| - 1 |})$

Paso 3.8.4

Simplifica.

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Paso 3.8.4.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\ln (\frac{1}{| - 1 |})$

Paso 3.8.4.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $- 1$ y $0$ es $1$ .

$\ln (\frac{1}{1})$

Paso 3.8.4.3

Divide $1$ por $1$ .

$\ln (1)$

Paso 3.9

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$0$

Paso 4