Cálculo Ejemplos

$e^{x} \sin (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$f' (x) = e^{x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Paso 1.1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Paso 1.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x) = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x) = 0$

Paso 2.2

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} (\cos (x) + \sin (x)) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Paso 2.4

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 2.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 2.4.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 2.5

Establece $\cos (x) + \sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $\cos (x) + \sin (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $\cos (x) + \sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Divide cada término en la ecuación por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 2.5.2.2

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 2.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 2.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 2.5.2.3

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Paso 2.5.2.4

Separa las fracciones.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 2.5.2.5

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Paso 2.5.2.6

Divide $0$ por $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Paso 2.5.2.7

Multiplica $0$ por $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Paso 2.5.2.8

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\tan (x) = - 1$

Paso 2.5.2.9

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Paso 2.5.2.10

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.10.1

El valor exacto de $\arctan (- 1)$ es $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Paso 2.5.2.11

La función tangente es negativa en el segundo y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Paso 2.5.2.12

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 2.5.2.12.1

Suma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Paso 2.5.2.12.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ es positivo y coterminal con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 2.5.2.13

Obtén el período de $\tan (x)$ .

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Paso 2.5.2.13.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 2.5.2.13.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 2.5.2.13.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 2.5.2.13.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 2.5.2.14

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 2.5.2.14.1

Suma $π$ y $- \frac{π}{4}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Paso 2.5.2.14.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 2.5.2.14.3

Combina fracciones.

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Paso 2.5.2.14.3.1

Combina $π$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Paso 2.5.2.14.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Paso 2.5.2.14.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.14.4.1

Mueve $4$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Paso 2.5.2.14.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Paso 2.5.2.14.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{4}$

Paso 2.5.2.15

El período de la función $\tan (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{x} (\cos (x) + \sin (x)) = 0$ verdadera.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $e^{x} \sin (x)$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $\frac{3 π}{4}$ por $x$ .

$e^{\frac{3 π}{4}} \sin (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$e^{\frac{3 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Paso 4.1.2.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{\frac{3 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 4.1.2.3

Combina $e^{\frac{3 π}{4}}$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{3 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = \frac{7 π}{4}$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $\frac{7 π}{4}$ por $x$ .

$e^{\frac{7 π}{4}} \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$e^{\frac{7 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Paso 4.2.2.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{\frac{7 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 4.2.2.3

Combina $e^{\frac{7 π}{4}}$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{\frac{7 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.3

Evalúa en $x = \frac{11 π}{4}$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $\frac{11 π}{4}$ por $x$ .

$e^{\frac{11 π}{4}} \sin (\frac{11 π}{4})$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$e^{\frac{11 π}{4}} \sin (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.3.2.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$e^{\frac{11 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Paso 4.3.2.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{\frac{11 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 4.3.2.4

Combina $e^{\frac{11 π}{4}}$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{11 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.4

Evalúa en $x = \frac{15 π}{4}$ .

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Paso 4.4.1

Sustituye $\frac{15 π}{4}$ por $x$ .

$e^{\frac{15 π}{4}} \sin (\frac{15 π}{4})$

Paso 4.4.2

Simplifica.

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Paso 4.4.2.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$e^{\frac{15 π}{4}} \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 4.4.2.2

$e^{\frac{15 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Paso 4.4.2.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{\frac{15 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 4.4.2.4

Combina $e^{\frac{15 π}{4}}$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{\frac{15 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.5

Evalúa en $x = \frac{19 π}{4}$ .

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Paso 4.5.1

Sustituye $\frac{19 π}{4}$ por $x$ .

$e^{\frac{19 π}{4}} \sin (\frac{19 π}{4})$

Paso 4.5.2

Simplifica.

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Paso 4.5.2.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$e^{\frac{19 π}{4}} \sin (\frac{3 π}{4})$

Paso 4.5.2.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$e^{\frac{19 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Paso 4.5.2.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{\frac{19 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 4.5.2.4

Combina $e^{\frac{19 π}{4}}$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{19 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.6

Enumera todos los puntos.

$(\frac{3 π}{4}, \frac{e^{\frac{3 π}{4}} \sqrt{2}}{2}), (\frac{7 π}{4}, - \frac{e^{\frac{7 π}{4}} \sqrt{2}}{2}), (\frac{11 π}{4}, \frac{e^{\frac{11 π}{4}} \sqrt{2}}{2}), (\frac{15 π}{4}, - \frac{e^{\frac{15 π}{4}} \sqrt{2}}{2}), (\frac{19 π}{4}, \frac{e^{\frac{19 π}{4}} \sqrt{2}}{2})$

Paso 5