Cálculo Ejemplos

$y = x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{5}{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{5}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Paso 1.1.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Paso 1.1.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Paso 1.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Paso 1.1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Paso 1.1.2.5.2

Resta $2$ de $3$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{5}{2}})$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{5}{2}}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{\frac{5}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 \frac{d}{d x} x^{\frac{5}{2}}$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Paso 1.1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 1.1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Paso 1.1.3.6.2

Resta $2$ de $5$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Paso 1.1.3.7

Combina $\frac{5}{2}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - 3 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 1.1.3.8

Combina $- 3$ y $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Paso 1.1.3.9

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 1.1.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 1.1.4

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} = 0$

Paso 2.2

Obtén un factor común $x^{\frac{1}{2}}$ que esté presente en cada término.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{15}{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{3}}$

Paso 2.3

Sustituye $u$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (u)}{2} - \frac{15}{2 {(u)}^{3}} = 0$

Paso 2.4

Resuelve $u$

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Paso 2.4.1

Factoriza cada término.

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Paso 2.4.1.1

Multiplica $3$ por $u$ .

$\frac{3 u}{2} - \frac{15}{2 {(u)}^{3}} = 0$

Paso 2.4.1.2

Elimina los paréntesis.

$\frac{3 u}{2} - \frac{15}{2 u^{3}} = 0$

Paso 2.4.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.4.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$2, 2 u^{3}, 1$

Paso 2.4.2.2

Since $2, 2 u^{3}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 2, 1$ then find LCM for the variable part $u^{3}$ .

Paso 2.4.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.4.2.4

Como $2$ no tiene factores además de $1$ y $2$ .

$2$ es un número primo

Paso 2.4.2.5

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.4.2.6

El MCM de $2, 2, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$2$

Paso 2.4.2.7

Los factores para $u^{3}$ son $u \cdot u \cdot u$ , que es $u$ multiplicada una por la otra $3$ veces.

$u^{3} = u \cdot u \cdot u$

$u$ ocurre $3$ veces.

Paso 2.4.2.8

El MCM de $u^{3}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$u \cdot u \cdot u$

Paso 2.4.2.9

Simplifica $u \cdot u \cdot u$ .

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Paso 2.4.2.9.1

Multiplica $u$ por $u$ .

$u^{2} \cdot u$

Paso 2.4.2.9.2

Multiplica $u^{2}$ por $u$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.2.9.2.1

Multiplica $u^{2}$ por $u$ .

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Paso 2.4.2.9.2.1.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$u^{2} \cdot u^{1}$

Paso 2.4.2.9.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$u^{2 + 1}$

Paso 2.4.2.9.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$u^{3}$

Paso 2.4.2.10

El MCM para $2, 2 u^{3}, 1$ es la parte numérica $2$ multiplicada por la parte variable.

$2 u^{3}$

Paso 2.4.3

Multiplica cada término en $\frac{3 u}{2} - \frac{15}{2 u^{3}} = 0$ por $2 u^{3}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.4.3.1

Multiplica cada término en $\frac{3 u}{2} - \frac{15}{2 u^{3}} = 0$ por $2 u^{3}$ .

$\frac{3 u}{2} (2 u^{3}) - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Paso 2.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{3 u}{2} u^{3} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Paso 2.4.3.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{3 u}{2} u^{3} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Paso 2.4.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$3 u \cdot u^{3} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Paso 2.4.3.2.1.3

Multiplica $u$ por $u^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.3.2.1.3.1

Mueve $u^{3}$ .

$3 (u^{3} u) - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Paso 2.4.3.2.1.3.2

Multiplica $u^{3}$ por $u$ .

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Paso 2.4.3.2.1.3.2.1

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$3 (u^{3} u^{1}) - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Paso 2.4.3.2.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 u^{3 + 1} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Paso 2.4.3.2.1.3.3

Suma $3$ y $1$ .

$3 u^{4} - \frac{15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Paso 2.4.3.2.1.4

Cancela el factor común de $2 u^{3}$ .

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Paso 2.4.3.2.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{15}{2 u^{3}}$ al numerador.

$3 u^{4} + \frac{- 15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Paso 2.4.3.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$3 u^{4} + \frac{- 15}{2 u^{3}} (2 u^{3}) = 0 (2 u^{3})$

Paso 2.4.3.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$3 u^{4} - 15 = 0 (2 u^{3})$

Paso 2.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.3.3.1

Multiplica $0 (2 u^{3})$ .

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Paso 2.4.3.3.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$3 u^{4} - 15 = 0 u^{3}$

Paso 2.4.3.3.1.2

Multiplica $0$ por $u^{3}$ .

$3 u^{4} - 15 = 0$

Paso 2.4.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.4.4.1

Suma $15$ a ambos lados de la ecuación.

$3 u^{4} = 15$

Paso 2.4.4.2

Divide cada término en $3 u^{4} = 15$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.4.4.2.1

Divide cada término en $3 u^{4} = 15$ por $3$ .

$\frac{3 u^{4}}{3} = \frac{15}{3}$

Paso 2.4.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.4.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.4.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 u^{4}}{3} = \frac{15}{3}$

Paso 2.4.4.2.2.1.2

Divide $u^{4}$ por $1$ .

$u^{4} = \frac{15}{3}$

Paso 2.4.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.4.2.3.1

Divide $15$ por $3$ .

$u^{4} = 5$

Paso 2.4.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt[4]{5}$

Paso 2.4.4.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.4.4.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$u = \sqrt[4]{5}$

Paso 2.4.4.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$u = - \sqrt[4]{5}$

Paso 2.4.4.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$u = \sqrt[4]{5}, - \sqrt[4]{5}$

Paso 2.5

Sustituye $x$ por $u$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[4]{5}, - \sqrt[4]{5}$

Paso 2.6

Resuelve para $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[4]{5}$ en $x$ .

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Paso 2.6.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Paso 2.6.2

Simplifica el exponente.

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Paso 2.6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.6.2.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.6.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.6.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Paso 2.6.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.6.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Paso 2.6.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Paso 2.6.2.1.1.2

Simplifica.

$x = {\sqrt[4]{5}}^{2}$

Paso 2.6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.6.2.2.1

Reescribe ${\sqrt[4]{5}}^{2}$ como $\sqrt{5}$ .

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Paso 2.6.2.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{5}$ como $5^{\frac{1}{4}}$ .

$x = {(5^{\frac{1}{4}})}^{2}$

Paso 2.6.2.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 5^{\frac{1}{4} \cdot 2}$

Paso 2.6.2.2.1.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $2$ .

$x = 5^{\frac{2}{4}}$

Paso 2.6.2.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 2.6.2.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x = 5^{\frac{2 (1)}{4}}$

Paso 2.6.2.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.6.2.2.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = 5^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 2.6.2.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$x = 5^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 2.6.2.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$x = 5^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.6.2.2.1.5

Reescribe $5^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{5}$ .

$x = \sqrt{5}$

Paso 2.7

Enumera todas las soluciones.

$x = \sqrt{5}, \sqrt{5}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 3.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2} - \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Paso 3.1.2

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2} - \frac{15 \sqrt{x^{3}}}{2}$

Paso 3.1.3

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{15 \sqrt{x^{3}}}{2}$

Paso 3.2

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x < 0$

Paso 3.3

Establece el radicando en $\sqrt{x^{3}}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} < 0$

Paso 3.4

Resuelve $x$

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Paso 3.4.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Paso 3.4.2

Simplifica la ecuación.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.2.1

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x < 0$

Paso 3.5

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Paso 4

Evalúa $x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{5}{2}}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = \sqrt{5}$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $\sqrt{5}$ por $x$ .

${(\sqrt{5})}^{\frac{3}{2}} - 3 {(\sqrt{5})}^{\frac{5}{2}}$

Paso 4.1.2

Elimina los paréntesis.

${\sqrt{5}}^{\frac{3}{2}} - 3 {\sqrt{5}}^{\frac{5}{2}}$

Paso 4.2

Enumera todos los puntos.

$(\sqrt{5}, {\sqrt{5}}^{\frac{3}{2}} - 3 {\sqrt{5}}^{\frac{5}{2}})$

Paso 5