Cálculo Ejemplos

$\sqrt[3]{x}$

Paso 1

Escribe $\sqrt[3]{x}$ como una función.

$f (x) = \sqrt[3]{x}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

Paso 2.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 2.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 2.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

Paso 2.1.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

Paso 2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

Paso 2.1.8

Simplifica.

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Paso 2.1.8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.8.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Paso 2.2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Paso 2.2.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

Paso 2.2.2.2.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Paso 2.2.2.2.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

Paso 2.2.2.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 2}{3}}]$

Paso 2.2.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{2}{3}}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

Paso 2.2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 2.2.5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 2.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 2.2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

Paso 2.2.7.2

Resta $3$ de $- 2$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

Paso 2.2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

Paso 2.2.9

Combina $x^{- \frac{5}{3}}$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

Paso 2.2.10

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Paso 2.2.11

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.11.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{9}$

Paso 2.2.11.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{- \frac{5}{3}}$ .

$- \frac{2 \cdot x^{- \frac{5}{3}}}{9}$

Paso 2.2.11.3

Mueve $x^{- \frac{5}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 = 0$

Paso 3.3

Como $2 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 4

No se encontraron valores que puedan hacer que la segunda derivada sea igual a $0$ .

No hay puntos de inflexión