Cálculo Ejemplos

$y = 2 x - \ln (2 x)$

Paso 1

Escribe $y = 2 x - \ln (2 x)$ como una función.

$f (x) = 2 x - \ln (2 x)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - \ln (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \ln (2 x)]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \ln (2 x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\ln (2 x)]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$2 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.1.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$2 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$2 - (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.1.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 - (\frac{1}{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 - (\frac{1}{2 x} (2 \cdot 1))$

Paso 2.1.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 - (\frac{1}{2 x} \cdot 2)$

Paso 2.1.3.6

Combina $\frac{1}{2 x}$ y $2$ .

$2 - \frac{2}{2 x}$

Paso 2.1.3.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.3.7.1

Cancela el factor común.

$2 - \frac{2}{2 x}$

Paso 2.1.3.7.2

Reescribe la expresión.

$2 - \frac{1}{x}$

Paso 2.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 2$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{1}{x} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.2.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.2.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.2.6

Multiplica $x^{- 2}$ por $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.2.7

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.2.8

Suma $x^{- 2}$ y $0$ .

$x^{- 2} + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.2.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Paso 2.2.4

Simplifica.

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Paso 2.2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 0$

Paso 2.2.4.2

Suma $\frac{1}{x^{2}}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{1}{x^{2}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 = 0$

Paso 3.3

Como $1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 4

No se encontraron valores que puedan hacer que la segunda derivada sea igual a $0$ .

No hay puntos de inflexión