Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$

Paso 1

Escribe $y = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{12} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $\frac{1}{12}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{12} x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{12} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{12} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Paso 2.1.2.3

Combina $4$ y $\frac{1}{12}$ .

$f' (x) = \frac{4}{12} x^{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Paso 2.1.2.4

Combina $\frac{4}{12}$ y $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{12} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Paso 2.1.2.5

Cancela el factor común de $4$ y $12$ .

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Paso 2.1.2.5.1

Factoriza $4$ de $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{3})}{12} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Paso 2.1.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.5.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Paso 2.1.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Paso 2.1.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{2} x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{2}$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 (\frac{1}{2}) \cdot x$

Paso 2.1.3.4

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{- 2}{2} x$

Paso 2.1.3.5

Combina $\frac{- 2}{2}$ y $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{- 2 x}{2}$

Paso 2.1.3.6

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 2.1.3.6.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 (- x)}{2}$

Paso 2.1.3.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.3.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Paso 2.1.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{- x}{1}$

Paso 2.1.3.6.2.4

Divide $- x$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - x$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{x^{3}}{3} - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{3}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 2.2.2.3

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 2.2.2.4

Combina $\frac{3}{3}$ y $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 2.2.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.2.5.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 2.2.2.5.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (- x)$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = x^{2} - \frac{d}{d x} x$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = x^{2} - 1 \cdot 1$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = x^{2} - 1$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x^{2} - 1$ .

$x^{2} - 1$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $x^{2} - 1 = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Paso 3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 1$

Paso 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 3.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $1$ en $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{1}{12} \cdot {(1)}^{4} - \frac{1}{2} \cdot {(1)}^{2}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = \frac{1}{12} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot {(1)}^{2}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $\frac{1}{12}$ por $1$ .

$f (1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2} \cdot {(1)}^{2}$

Paso 4.1.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2}$

Paso 4.1.2.2

Para escribir $- \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$f (1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6}$

Paso 4.1.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{6}{6}$ .

$f (1) = \frac{1}{12} - \frac{6}{2 \cdot 6}$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$f (1) = \frac{1}{12} - \frac{6}{12}$

Paso 4.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (1) = \frac{1 - 6}{12}$

Paso 4.1.2.5

Resta $6$ de $1$ .

$f (1) = \frac{- 5}{12}$

Paso 4.1.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (1) = - \frac{5}{12}$

Paso 4.1.2.7

La respuesta final es $- \frac{5}{12}$ .

$- \frac{5}{12}$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $1$ en $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ es $(1, - \frac{5}{12})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(1, - \frac{5}{12})$

Paso 4.3

Sustituye $- 1$ en $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = \frac{1}{12} \cdot {(- 1)}^{4} - \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Paso 4.3.2.1.2

Multiplica $\frac{1}{12}$ por $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Paso 4.3.2.1.3

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.2.1.3.1

Mueve ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 (\frac{1}{2}))$

Paso 4.3.2.1.3.2

Multiplica ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

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Paso 4.3.2.1.3.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{1}{2}))$

Paso 4.3.2.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- 1) = \frac{1}{12} + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{1}{2})$

Paso 4.3.2.1.3.3

Suma $2$ y $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} + {(- 1)}^{3} (\frac{1}{2})$

Paso 4.3.2.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2}$

Paso 4.3.2.2

Para escribir $- \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6}$

Paso 4.3.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $12$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.3.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{6}{6}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} - \frac{6}{2 \cdot 6}$

Paso 4.3.2.3.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} - \frac{6}{12}$

Paso 4.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- 1) = \frac{1 - 6}{12}$

Paso 4.3.2.5

Resta $6$ de $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 5}{12}$

Paso 4.3.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 1) = - \frac{5}{12}$

Paso 4.3.2.7

La respuesta final es $- \frac{5}{12}$ .

$- \frac{5}{12}$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 1$ en $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ es $(- 1, - \frac{5}{12})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 1, - \frac{5}{12})$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(1, - \frac{5}{12}), (- 1, - \frac{5}{12})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.1$ en la expresión.

$f'' (- 1.1) = {(- 1.1)}^{2} - 1$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Eleva $- 1.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.1) = 1.21 - 1$

Paso 6.2.2

Resta $1$ de $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 0.21$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $0.21$ .

$0.21$

Paso 6.3

En $- 1.1$ , la segunda derivada es $0.21$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - 1)$ .

Incremento en $(- \infty, - 1)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, 1)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = {(0)}^{2} - 1$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = 0 - 1$

Paso 7.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$f'' (0) = - 1$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 7.3

En $0$ , la segunda derivada es $- 1$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- 1, 1)$ .

Decrecimiento en $(- 1, 1)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.1$ en la expresión.

$f'' (1.1) = {(1.1)}^{2} - 1$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Eleva $1.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.1) = 1.21 - 1$

Paso 8.2.2

Resta $1$ de $1.21$ .

$f'' (1.1) = 0.21$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $0.21$ .

$0.21$

Paso 8.3

En $1.1$ , la segunda derivada es $0.21$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(1, \infty)$ .

Incremento en $(1, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, - \frac{5}{12}), (1, - \frac{5}{12})$ .

$(- 1, - \frac{5}{12}), (1, - \frac{5}{12})$

Paso 10