Cálculo Ejemplos

$y = e^{- 2 x^{2}}$

Paso 1

Escribe $y = e^{- 2 x^{2}}$ como una función.

$f (x) = e^{- 2 x^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 2 x^{2}$ .

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Paso 2.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Paso 2.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = e^{- 2 x^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2})$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = e^{- 2 x^{2}} (- 2 (2 x))$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = e^{- 2 x^{2}} (- 4 x)$

Paso 2.1.3

Simplifica.

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Paso 2.1.3.1

Reordena los factores de $e^{- 2 x^{2}} (- 4 x)$ .

$f' (x) = - 4 e^{- 2 x^{2}} x$

Paso 2.1.3.2

Reordena los factores en $- 4 e^{- 2 x^{2}} x$ .

$f' (x) = - 4 x e^{- 2 x^{2}}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x e^{- 2 x^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x e^{- 2 x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} (x e^{- 2 x^{2}})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- 2 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 4 (x \frac{d}{d x} (e^{- 2 x^{2}}) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 2 x^{2}$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.2.4

Diferencia.

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Paso 2.2.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{- 2 x^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{- 2 x^{2}} (- 2 (2 x))) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.2.4.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{- 2 x^{2}} (- 4 x)) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 4 (x \cdot x (e^{- 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 4 (x \cdot x (e^{- 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 4 (x^{1 + 1} (e^{- 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.8.1

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (e^{- 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.2.8.2

Mueve $- 4$ a la izquierda de $e^{- 2 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 4 \cdot e^{- 2 x^{2}}) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 4 e^{- 2 x^{2}}) + e^{- 2 x^{2}} \cdot 1)$

Paso 2.2.10

Multiplica $e^{- 2 x^{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 4 e^{- 2 x^{2}}) + e^{- 2 x^{2}})$

Paso 2.2.11

Simplifica.

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Paso 2.2.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 4 e^{- 2 x^{2}})) - 4 e^{- 2 x^{2}}$

Paso 2.2.11.2

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{- 2 x^{2}} - 4 e^{- 2 x^{2}}$

Paso 2.2.11.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = 16 e^{- 2 x^{2}} x^{2} - 4 e^{- 2 x^{2}}$

Paso 2.2.11.4

Reordena los factores en $16 e^{- 2 x^{2}} x^{2} - 4 e^{- 2 x^{2}}$ .

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{- 2 x^{2}} - 4 e^{- 2 x^{2}}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $16 x^{2} e^{- 2 x^{2}} - 4 e^{- 2 x^{2}}$ .

$16 x^{2} e^{- 2 x^{2}} - 4 e^{- 2 x^{2}}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $16 x^{2} e^{- 2 x^{2}} - 4 e^{- 2 x^{2}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$16 x^{2} e^{- 2 x^{2}} - 4 e^{- 2 x^{2}} = 0$

Paso 3.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Factoriza $4 e^{- 2 x^{2}}$ de $16 x^{2} e^{- 2 x^{2}} - 4 e^{- 2 x^{2}}$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $4 e^{- 2 x^{2}}$ de $16 x^{2} e^{- 2 x^{2}}$ .

$4 e^{- 2 x^{2}} (4 x^{2}) - 4 e^{- 2 x^{2}} = 0$

Paso 3.2.1.2

Factoriza $4 e^{- 2 x^{2}}$ de $- 4 e^{- 2 x^{2}}$ .

$4 e^{- 2 x^{2}} (4 x^{2}) + 4 e^{- 2 x^{2}} (- 1) = 0$

Paso 3.2.1.3

Factoriza $4 e^{- 2 x^{2}}$ de $4 e^{- 2 x^{2}} (4 x^{2}) + 4 e^{- 2 x^{2}} (- 1)$ .

$4 e^{- 2 x^{2}} (4 x^{2} - 1) = 0$

Paso 3.2.2

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$4 e^{- 2 x^{2}} ({(2 x)}^{2} - 1) = 0$

Paso 3.2.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$4 e^{- 2 x^{2}} ({(2 x)}^{2} - 1^{2}) = 0$

Paso 3.2.4

Factoriza.

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Paso 3.2.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 x$ y $b = 1$ .

$4 e^{- 2 x^{2}} ((2 x + 1) (2 x - 1)) = 0$

Paso 3.2.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 e^{- 2 x^{2}} (2 x + 1) (2 x - 1) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{- 2 x^{2}} = 0$

$2 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

Paso 3.4

Establece $e^{- 2 x^{2}}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $e^{- 2 x^{2}}$ igual a $0$ .

$e^{- 2 x^{2}} = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $e^{- 2 x^{2}} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- 2 x^{2}}) = \ln (0)$

Paso 3.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 3.4.2.3

No hay soluciones para $e^{- 2 x^{2}} = 0$

No hay solución

Paso 3.5

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $2 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 3.5.2.2

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 3.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 3.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 3.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 3.6

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.6.1

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Paso 3.6.2

Resuelve $2 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.6.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 3.6.2.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.6.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 3.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 3.6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 e^{- 2 x^{2}} (2 x + 1) (2 x - 1) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- \frac{1}{2}$ en $f (x) = e^{- 2 x^{2}}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{1}{2}$ en la expresión.

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- 2 {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})}$

Paso 4.1.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}))}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- 2 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}))}$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Paso 4.1.2.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- 2 \frac{1}{2^{2}}}$

Paso 4.1.2.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- 2 (\frac{1}{4})}$

Paso 4.1.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = e^{2 (- 1) (\frac{1}{4})}$

Paso 4.1.2.3.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (- \frac{1}{2}) = e^{2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2})}$

Paso 4.1.2.3.3

Cancela el factor común.

$f (- \frac{1}{2}) = e^{2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2})}$

Paso 4.1.2.3.4

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

Paso 4.1.2.4

Reescribe $- 1 (\frac{1}{2})$ como $- (\frac{1}{2})$ .

$f (- \frac{1}{2}) = e^{- (\frac{1}{2})}$

Paso 4.1.2.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.1.2.6

La respuesta final es $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- \frac{1}{2}$ en $f (x) = e^{- 2 x^{2}}$ es $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.3

Sustituye $\frac{1}{2}$ en $f (x) = e^{- 2 x^{2}}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{2}) = e^{- 2 {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = e^{- 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Paso 4.3.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{2}) = e^{- 2 \frac{1}{2^{2}}}$

Paso 4.3.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = e^{- 2 (\frac{1}{4})}$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = e^{2 (- 1) (\frac{1}{4})}$

Paso 4.3.2.2.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = e^{2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2})}$

Paso 4.3.2.2.3

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{2}) = e^{2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2})}$

Paso 4.3.2.2.4

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{2}) = e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

Paso 4.3.2.3

Reescribe $- 1 (\frac{1}{2})$ como $- (\frac{1}{2})$ .

$f (\frac{1}{2}) = e^{- (\frac{1}{2})}$

Paso 4.3.2.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3.2.5

La respuesta final es $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{1}{2}$ en $f (x) = e^{- 2 x^{2}}$ es $(\frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \frac{1}{2})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.6$ en la expresión.

$f'' (- 0.6) = 16 {(- 0.6)}^{2} e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}} - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 0.6$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.6) = 16 \cdot (0.36 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}) - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $16$ por $0.36$ .

$f'' (- 0.6) = 5.76 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}} - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $- 0.6$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.6) = 5.76 e^{- 2 \cdot 0.36} - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 2$ por $0.36$ .

$f'' (- 0.6) = 5.76 e^{- 0.72} - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Paso 6.2.1.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.6) = 5.76 (\frac{1}{e^{0.72}}) - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Paso 6.2.1.6

Combina $5.76$ y $\frac{1}{e^{0.72}}$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{5.76}{e^{0.72}} - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Paso 6.2.1.7

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (- 0.6) = \frac{5.76}{{2.71828182}^{0.72}} - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Paso 6.2.1.8

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $0.72$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{5.76}{2.05443321} - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Paso 6.2.1.9

Divide $5.76$ por $2.05443321$ .

$f'' (- 0.6) = 2.80369299 - 4 e^{- 2 {(- 0.6)}^{2}}$

Paso 6.2.1.10

Eleva $- 0.6$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.6) = 2.80369299 - 4 e^{- 2 \cdot 0.36}$

Paso 6.2.1.11

Multiplica $- 2$ por $0.36$ .

$f'' (- 0.6) = 2.80369299 - 4 e^{- 0.72}$

Paso 6.2.1.12

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.6) = 2.80369299 - 4 \frac{1}{e^{0.72}}$

Paso 6.2.1.13

Combina $- 4$ y $\frac{1}{e^{0.72}}$ .

$f'' (- 0.6) = 2.80369299 + \frac{- 4}{e^{0.72}}$

Paso 6.2.1.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 0.6) = 2.80369299 - \frac{4}{e^{0.72}}$

Paso 6.2.2

Resta $\frac{4}{e^{0.72}}$ de $2.80369299$ .

$f'' (- 0.6) = 0.85668397$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $0.85668397$ .

$0.85668397$

Paso 6.3

En $- 0.6$ , la segunda derivada es $0.85668397$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - \frac{1}{2})$ .

Incremento en $(- \infty, - \frac{1}{2})$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = 16 {(0)}^{2} e^{- 2 {(0)}^{2}} - 4 e^{- 2 {(0)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = 16 \cdot (0 e^{- 2 {(0)}^{2}}) - 4 e^{- 2 {(0)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $16$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- 2 {(0)}^{2}} - 4 e^{- 2 {(0)}^{2}}$

Paso 7.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- 2 \cdot 0} - 4 e^{- 2 {(0)}^{2}}$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{0} - 4 e^{- 2 {(0)}^{2}}$

Paso 7.2.1.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - 4 e^{- 2 {(0)}^{2}}$

Paso 7.2.1.6

Multiplica $0$ por $1$ .

$f'' (0) = 0 - 4 e^{- 2 {(0)}^{2}}$

Paso 7.2.1.7

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = 0 - 4 e^{- 2 \cdot 0}$

Paso 7.2.1.8

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 4 e^{0}$

Paso 7.2.1.9

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f'' (0) = 0 - 4 \cdot 1$

Paso 7.2.1.10

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f'' (0) = 0 - 4$

Paso 7.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$f'' (0) = - 4$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 4$ .

$- 4$

Paso 7.3

En $0$ , la segunda derivada es $- 4$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ .

Decrecimiento en $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{1}{2}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.6$ en la expresión.

$f'' (0.6) = 16 {(0.6)}^{2} e^{- 2 {(0.6)}^{2}} - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $0.6$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.6) = 16 \cdot (0.36 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}) - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $16$ por $0.36$ .

$f'' (0.6) = 5.76 e^{- 2 {(0.6)}^{2}} - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Paso 8.2.1.3

Eleva $0.6$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.6) = 5.76 e^{- 2 \cdot 0.36} - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $- 2$ por $0.36$ .

$f'' (0.6) = 5.76 e^{- 0.72} - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Paso 8.2.1.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.6) = 5.76 (\frac{1}{e^{0.72}}) - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Paso 8.2.1.6

Combina $5.76$ y $\frac{1}{e^{0.72}}$ .

$f'' (0.6) = \frac{5.76}{e^{0.72}} - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Paso 8.2.1.7

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (0.6) = \frac{5.76}{{2.71828182}^{0.72}} - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Paso 8.2.1.8

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $0.72$ .

$f'' (0.6) = \frac{5.76}{2.05443321} - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Paso 8.2.1.9

Divide $5.76$ por $2.05443321$ .

$f'' (0.6) = 2.80369299 - 4 e^{- 2 {(0.6)}^{2}}$

Paso 8.2.1.10

Eleva $0.6$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.6) = 2.80369299 - 4 e^{- 2 \cdot 0.36}$

Paso 8.2.1.11

Multiplica $- 2$ por $0.36$ .

$f'' (0.6) = 2.80369299 - 4 e^{- 0.72}$

Paso 8.2.1.12

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.6) = 2.80369299 - 4 \frac{1}{e^{0.72}}$

Paso 8.2.1.13

Combina $- 4$ y $\frac{1}{e^{0.72}}$ .

$f'' (0.6) = 2.80369299 + \frac{- 4}{e^{0.72}}$

Paso 8.2.1.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (0.6) = 2.80369299 - \frac{4}{e^{0.72}}$

Paso 8.2.2

Resta $\frac{4}{e^{0.72}}$ de $2.80369299$ .

$f'' (0.6) = 0.85668397$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $0.85668397$ .

$0.85668397$

Paso 8.3

En $0.6$ , la segunda derivada es $0.85668397$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(\frac{1}{2}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{1}{2}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ .

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{1}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Paso 10