Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 243}$

Paso 1

Escribe $y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 243}$ como una función.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 243}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 243$ .

$\frac{(x^{2} + 243) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 243]}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 243) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 243]}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 2.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} + 243$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 243) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 243]}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 2.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 243$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [243]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [243])}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [243])}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 2.2.5

Como $243$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $243$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 2.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 2.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 2.5

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 243) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 2.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 243 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.6.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 243 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 2.6.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.6.3.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 243 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 2.6.3.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 243 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 2.6.3.1.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 243 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 2.6.3.1.2

Multiplica $2$ por $243$ .

$\frac{2 x^{3} + 486 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 2.6.3.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{3} + 486 x - 2 x^{3}$ .

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Paso 2.6.3.2.1

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{486 x + 0}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 2.6.3.2.2

Suma $486 x$ y $0$ .

$\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Como $486$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $486 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 486 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 243)}^{2}})$

Paso 3.2

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 243)}^{2}}{{({(x^{2} + 243)}^{2})}^{2}})$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 243)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 243)}^{2}}{{(x^{2} + 243)}^{2 \cdot 2}})$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 243)}^{2}}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 243)}^{2}}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Paso 3.3.3

Multiplica ${(x^{2} + 243)}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 243)}^{2}}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 243$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 243$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 243$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} - x (2 (x^{2} + 243) \frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Paso 3.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 243) \frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Paso 3.5.2

Factoriza $x^{2} + 243$ de ${(x^{2} + 243)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 243) \frac{d}{d x} [x^{2} + 243])$ .

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $x^{2} + 243$ de ${(x^{2} + 243)}^{2}$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{(x^{2} + 243) (x^{2} + 243) - 2 x ((x^{2} + 243) \frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Paso 3.5.2.2

Factoriza $x^{2} + 243$ de $- 2 x ((x^{2} + 243) \frac{d}{d x} [x^{2} + 243])$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{(x^{2} + 243) (x^{2} + 243) + (x^{2} + 243) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 243)))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Paso 3.5.2.3

Factoriza $x^{2} + 243$ de $(x^{2} + 243) (x^{2} + 243) + (x^{2} + 243) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 243]))$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{(x^{2} + 243) (x^{2} + 243 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 243)))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Paso 3.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.1

Factoriza $x^{2} + 243$ de ${(x^{2} + 243)}^{4}$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{(x^{2} + 243) (x^{2} + 243 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 243)))}{(x^{2} + 243) {(x^{2} + 243)}^{3}})$

Paso 3.6.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 486 (\frac{(x^{2} + 243) (x^{2} + 243 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 243)))}{(x^{2} + 243) {(x^{2} + 243)}^{3}})$

Paso 3.6.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Paso 3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 243$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [243]$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (243))}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (243))}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Paso 3.9

Como $243$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $243$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Paso 3.10

Simplifica la expresión.

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Paso 3.10.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Paso 3.10.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Paso 3.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Paso 3.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Paso 3.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Paso 3.14

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Paso 3.15

Resta $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{- 3 x^{2} + 243}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Paso 3.16

Combina $486$ y $\frac{- 3 x^{2} + 243}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{486 (- 3 x^{2} + 243)}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Paso 3.17

Simplifica.

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Paso 3.17.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{486 (- 3 x^{2}) + 486 \cdot 243}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Paso 3.17.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.17.2.1

Multiplica $- 3$ por $486$ .

$f'' (x) = \frac{- 1458 x^{2} + 486 \cdot 243}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Paso 3.17.2.2

Multiplica $486$ por $243$ .

$f'' (x) = \frac{- 1458 x^{2} + 118098}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Paso 3.17.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.17.3.1

Factoriza $1458$ de $- 1458 x^{2} + 118098$ .

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Paso 3.17.3.1.1

Factoriza $1458$ de $- 1458 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1458 (- x^{2}) + 118098}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Paso 3.17.3.1.2

Factoriza $1458$ de $118098$ .

$f'' (x) = \frac{1458 (- x^{2}) + 1458 (81)}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Paso 3.17.3.1.3

Factoriza $1458$ de $1458 (- x^{2}) + 1458 (81)$ .

$f'' (x) = \frac{1458 (- x^{2} + 81)}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Paso 3.17.3.2

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1458 (- x^{2} + 9^{2})}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Paso 3.17.3.3

Reordena $- x^{2}$ y $9^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1458 (9^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Paso 3.17.3.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 9$ y $b = x$ .

$f'' (x) = \frac{1458 (9 + x) (9 - x)}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 243) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 243)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 5.1.2

Diferencia.

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Paso 5.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 243) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 243)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 5.1.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} + 243$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 243) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 243)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 5.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 243$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [243]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (243))}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 5.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (243))}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 5.1.2.5

Como $243$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $243$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 5.1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1.2.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 5.1.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 5.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 5.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 5.1.5

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 5.1.6

Simplifica.

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Paso 5.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 243) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 5.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (243 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 5.1.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.6.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.6.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (243 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 5.1.6.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.6.3.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (243 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 5.1.6.3.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (243 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 5.1.6.3.1.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (243 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 5.1.6.3.1.2

Multiplica $2$ por $243$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 486 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 5.1.6.3.2

Combina los términos opuestos en $2 x^{3} + 486 x - 2 x^{3}$ .

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Paso 5.1.6.3.2.1

Resta $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{486 x + 0}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 5.1.6.3.2.2

Suma $486 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$ .

$\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}} = 0$

Paso 6.2

Establece el numerador igual a cero.

$486 x = 0$

Paso 6.3

Divide cada término en $486 x = 0$ por $486$ y simplifica.

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Paso 6.3.1

Divide cada término en $486 x = 0$ por $486$ .

$\frac{486 x}{486} = \frac{0}{486}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

Cancela el factor común de $486$ .

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Paso 6.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{486 x}{486} = \frac{0}{486}$

Paso 6.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{486}$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1

Divide $0$ por $486$ .

$x = 0$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{1458 (9 + 0) (9 - (0))}{{({(0)}^{2} + 243)}^{3}}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{1458 (9 + 0) (9 - (0))}{{({(0)}^{2} + 243)}^{3}}$

Paso 10.2

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.1

Combina exponentes.

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Paso 10.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1458 (9 + 0) (9 + 0)}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Paso 10.2.1.2

Eleva $9 + 0$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1458 ({(9 + 0)}^{1} (9 + 0))}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Paso 10.2.1.3

Eleva $9 + 0$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1458 ({(9 + 0)}^{1} {(9 + 0)}^{1})}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Paso 10.2.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1458 {(9 + 0)}^{1 + 1}}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Paso 10.2.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1458 {(9 + 0)}^{2}}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Paso 10.2.2

Suma $9$ y $0$ .

$\frac{1458 \cdot 9^{2}}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Paso 10.2.3

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1458 \cdot 81}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Paso 10.3

Simplifica el denominador.

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Paso 10.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1458 \cdot 81}{{(0 + 243)}^{3}}$

Paso 10.3.2

Suma $0$ y $243$ .

$\frac{1458 \cdot 81}{243^{3}}$

Paso 10.3.3

Eleva $243$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1458 \cdot 81}{14348907}$

Paso 10.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 10.4.1

Multiplica $1458$ por $81$ .

$\frac{118098}{14348907}$

Paso 10.4.2

Cancela el factor común de $118098$ y $14348907$ .

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Paso 10.4.2.1

Factoriza $59049$ de $118098$ .

$\frac{59049 (2)}{14348907}$

Paso 10.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.4.2.2.1

Factoriza $59049$ de $14348907$ .

$\frac{59049 \cdot 2}{59049 \cdot 243}$

Paso 10.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{59049 \cdot 2}{59049 \cdot 243}$

Paso 10.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{243}$

Paso 11

$x = 0$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 0$ es un mínimo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{{(0)}^{2} + 243}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0^{2} + 243}$

Paso 12.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 12.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 243}$

Paso 12.2.2.2

Suma $0$ y $243$ .

$f (0) = \frac{0}{243}$

Paso 12.2.3

Divide $0$ por $243$ .

$f (0) = 0$

Paso 12.2.4

La respuesta final es $0$ .

$y = 0$

Paso 13

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 243}$ .

$(0, 0)$ es un mínimo local

Paso 14