Cálculo Ejemplos

$f (x, y) = x^{3} - 12 x y + 8 y^{3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $f (x, y) - x^{3} + 12 x y - 8 y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x y] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x y] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Paso 1.2

Multiplica $f$ por cada elemento de la matriz.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x y] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x y] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x y] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Paso 1.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x y] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x y]$ .

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Paso 1.4.1

Como $12 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x y$ con respecto a $x$ es $12 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 x^{2} + 12 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 x^{2} + 12 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Paso 1.4.3

Multiplica $12$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 x^{2} + 12 y + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Paso 1.5

Como $- 8 y^{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 y^{3}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 x^{2} + 12 y + 0$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Suma $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 x^{2} + 12 y$ y $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 x^{2} + 12 y$

Paso 1.6.2

Reordena los términos.

$- 3 x^{2} + 12 y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)]$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 3 x^{2} + 12 y + \frac{d}{d x} ((f x, f y))$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 y] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y)))$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y)))$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y)))$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (12 y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y)))$

Paso 2.3

Como $12 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y)))$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ .

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Paso 2.4.1

Cancela el factor común de $d$ .

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Paso 2.4.1.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - 6 x + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y))$

Paso 2.4.1.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - 6 x + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y))$

Paso 2.4.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por cada elemento de la matriz.

$f'' (x) = - 6 x + 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y)))$

Paso 2.4.3

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 2.4.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.4.3.1.1

Factoriza $x$ de $f x$ .

$f'' (x) = - 6 x + 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y)))$

Paso 2.4.3.1.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - 6 x + 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y)))$

Paso 2.4.3.1.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - 6 x + 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y)))$

Paso 2.4.3.2

Multiplica $\frac{1}{x} (f y)$ .

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Paso 2.4.3.2.1

Combina $f$ y $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - 6 x + 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y))$

Paso 2.4.3.2.2

Combina $\frac{f}{x}$ y $y$ .

$f'' (x) = - 6 x + 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

Paso 2.5

Suma $- 6 x$ y $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$- 3 x^{2} + 12 y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x y] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Paso 4.1.2

Multiplica $f$ por cada elemento de la matriz.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x y] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x y] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x y] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x y] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Paso 4.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x y]$ .

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Paso 4.1.4.1

Como $12 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x y$ con respecto a $x$ es $12 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 x^{2} + 12 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Paso 4.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 x^{2} + 12 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Paso 4.1.4.3

Multiplica $12$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 x^{2} + 12 y + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Paso 4.1.5

Como $- 8 y^{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 y^{3}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 x^{2} + 12 y + 0$

Paso 4.1.6

Simplifica.

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Paso 4.1.6.1

Suma $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 x^{2} + 12 y$ y $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 x^{2} + 12 y$

Paso 4.1.6.2

Reordena los términos.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12 y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)]$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 3 x^{2} + 12 y + \frac{d}{d x} ((f x, f y))$ .

$- 3 x^{2} + 12 y + \frac{d}{d x} ((f x, f y))$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) = 0$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

Establece el denominador en $\frac{d}{d x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$d x = 0$

Paso 6.2

Divide cada término en $d x = 0$ por $d$ y simplifica.

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Paso 6.2.1

Divide cada término en $d x = 0$ por $d$ .

$\frac{d x}{d} = \frac{0}{d}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común de $d$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d x}{d} = \frac{0}{d}$

Paso 6.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{d}$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Divide $0$ por $d$ .

$x = 0$

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 6 \cdot 0 + \frac{d}{d (0)} ((f, \frac{f y}{0}))$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Multiplica $d$ por $0$ .

$- 6 \cdot 0 + \frac{d}{0} (f, \frac{f y}{0})$

Paso 9.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 10

Como la prueba de la primera derivada falló, no hay extremos locales.

No hay extremos locales

Paso 11