Cálculo Ejemplos

$x = y^{2}$ , $x = 14 y - y^{2}$

Paso 1

Para obtener el volumen del sólido, primero define el área de cada parte, luego integra en el rango. El área de cada parte es el área de un círculo con radio $f (y)$ y $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{7} {(f (y))}^{2} - {(g (y))}^{2} d y$ donde $f (y) = - y^{2} + 14 y$ y $g (y) = y^{2}$

Paso 2

Simplifica el integrando.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Reescribe ${(- y^{2} + 14 y)}^{2}$ como $(- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y)$ .

$V = (- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Paso 2.1.2

Expande $(- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$V = - y^{2} (- y^{2} + 14 y) + 14 y (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Paso 2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$V = - y^{2} (- y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Paso 2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$V = - y^{2} (- y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Paso 2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{2} y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Paso 2.1.3.1.2

Multiplica $y^{2}$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.3.1.2.1

Mueve $y^{2}$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (y^{2} y^{2})) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Paso 2.1.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{2 + 2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Paso 2.1.3.1.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{4}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Paso 2.1.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$V = 1 y^{4} - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Paso 2.1.3.1.4

Multiplica $y^{4}$ por $1$ .

$V = y^{4} - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Paso 2.1.3.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{2} y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Paso 2.1.3.1.6

Multiplica $y^{2}$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.3.1.6.1

Mueve $y$ .

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 (y \cdot y^{2})) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Paso 2.1.3.1.6.2

Multiplica $y$ por $y^{2}$ .

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Paso 2.1.3.1.6.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 (y \cdot y^{2})) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Paso 2.1.3.1.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{1 + 2}) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Paso 2.1.3.1.6.3

Suma $1$ y $2$ .

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{3}) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Paso 2.1.3.1.7

Multiplica $- 1$ por $14$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Paso 2.1.3.1.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y \cdot y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Paso 2.1.3.1.9

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.3.1.9.1

Mueve $y^{2}$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 (y^{2} y)) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Paso 2.1.3.1.9.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 2.1.3.1.9.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 (y^{2} y)) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Paso 2.1.3.1.9.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y^{2 + 1}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Paso 2.1.3.1.9.3

Suma $2$ y $1$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y^{3}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Paso 2.1.3.1.10

Multiplica $14$ por $- 1$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Paso 2.1.3.1.11

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 y \cdot y) - {(y^{2})}^{2}$

Paso 2.1.3.1.12

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.3.1.12.1

Mueve $y$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 (y \cdot y)) - {(y^{2})}^{2}$

Paso 2.1.3.1.12.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 y^{2}) - {(y^{2})}^{2}$

Paso 2.1.3.1.13

Multiplica $14$ por $14$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 196 y^{2} - {(y^{2})}^{2}$

Paso 2.1.3.2

Resta $14 y^{3}$ de $- 14 y^{3}$ .

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - {(y^{2})}^{2}$

Paso 2.1.4

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{2 \cdot 2}$

Paso 2.1.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{4}$

Paso 2.2

Combina los términos opuestos en $y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{4}$ .

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Paso 2.2.1

Resta $y^{4}$ de $y^{4}$ .

$V = - 28 y^{3} + 196 y^{2} + 0$

Paso 2.2.2

Suma $- 28 y^{3} + 196 y^{2}$ y $0$ .

$V = - 28 y^{3} + 196 y^{2}$

Paso 3

Divide la única integral en varias integrales.

$V = π (\int_{0}^{7} - 28 y^{3} d y + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

Paso 4

Dado que $- 28$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 28$ fuera de la integral.

$V = π (- 28 \int_{0}^{7} y^{3} d y + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$V = π (- 28 (\frac{1}{4} y^{4}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

Paso 6

Combina $\frac{1}{4}$ y $y^{4}$ .

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

Paso 7

Dado que $196$ es constante con respecto a $y$ , mueve $196$ fuera de la integral.

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 \int_{0}^{7} y^{2} d y)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{7}))$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{7}))$

Paso 9.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.2.1

Evalúa $\frac{y^{4}}{4}$ en $7$ y en $0$ .

$V = π (- 28 ((\frac{7^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{7}))$

Paso 9.2.2

Evalúa $\frac{y^{3}}{3}$ en $7$ y en $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{7^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3

Simplifica.

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Paso 9.2.3.1

Eleva $7$ a la potencia de $4$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.3

Cancela el factor común de $0$ y $4$ .

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Paso 9.2.3.3.1

Factoriza $4$ de $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 (0)}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.3.3.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0}{1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.3.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - 0) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} + 0) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.5

Suma $\frac{2401}{4}$ y $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.6

Combina $- 28$ y $\frac{2401}{4}$ .

$V = π (\frac{- 28 \cdot 2401}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.7

Multiplica $- 28$ por $2401$ .

$V = π (\frac{- 67228}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.8

Cancela el factor común de $- 67228$ y $4$ .

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Paso 9.2.3.8.1

Factoriza $4$ de $- 67228$ .

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.3.8.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4 (1)} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.8.2.2

Cancela el factor común.

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4 \cdot 1} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.8.2.3

Reescribe la expresión.

$V = π (\frac{- 16807}{1} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.8.2.4

Divide $- 16807$ por $1$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.9

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Paso 9.2.3.10

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0}{3}))$

Paso 9.2.3.11

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 9.2.3.11.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Paso 9.2.3.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.3.11.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Paso 9.2.3.11.2.2

Cancela el factor común.

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Paso 9.2.3.11.2.3

Reescribe la expresión.

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0}{1}))$

Paso 9.2.3.11.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - 0))$

Paso 9.2.3.12

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} + 0))$

Paso 9.2.3.13

Suma $\frac{343}{3}$ y $0$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3}))$

Paso 9.2.3.14

Combina $196$ y $\frac{343}{3}$ .

$V = π (- 16807 + \frac{196 \cdot 343}{3})$

Paso 9.2.3.15

Multiplica $196$ por $343$ .

$V = π (- 16807 + \frac{67228}{3})$

Paso 9.2.3.16

Para escribir $- 16807$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$V = π (- 16807 \cdot \frac{3}{3} + \frac{67228}{3})$

Paso 9.2.3.17

Combina $- 16807$ y $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{- 16807 \cdot 3}{3} + \frac{67228}{3})$

Paso 9.2.3.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$V = π (\frac{- 16807 \cdot 3 + 67228}{3})$

Paso 9.2.3.19

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.3.19.1

Multiplica $- 16807$ por $3$ .

$V = π (\frac{- 50421 + 67228}{3})$

Paso 9.2.3.19.2

Suma $- 50421$ y $67228$ .

$V = π (\frac{16807}{3})$

Paso 9.2.3.20

Combina $π$ y $\frac{16807}{3}$ .

$V = \frac{π \cdot 16807}{3}$

Paso 9.2.3.21

Mueve $16807$ a la izquierda de $π$ .

$V = \frac{16807 π}{3}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$V = \frac{16807 π}{3}$

Forma decimal:

$V = 17600.24924296 \dots$

Paso 11