Cálculo Ejemplos

$y = t \ln^{2} (2 t)$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$y = t \ln^{2} (2 t)$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t \ln^{2} (2 t))$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $t$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = \ln^{2} (2 t)$ .

$t \frac{d}{d t} [\ln^{2} (2 t)] + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = \ln (2 t)$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\ln (2 t)$ .

$t (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\ln (2 t)]) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$t (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\ln (2 t)]) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\ln (2 t)$ .

$t (2 \ln (2 t) \frac{d}{d t} [\ln (2 t)]) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \ln (t)$ y $g (t) = 2 t$ .

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Paso 4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 t$ .

$t (2 \ln (2 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d t} [2 t])) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.3.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$t (2 \ln (2 t) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d t} [2 t])) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 t$ .

$t (2 \ln (2 t) (\frac{1}{2 t} \frac{d}{d t} [2 t])) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4

Diferencia.

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Paso 4.4.1

Combina $\frac{1}{2 t}$ y $2$ .

$t (\frac{2}{2 t} \ln (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.4.2.1

Combina $\frac{2}{2 t}$ y $\ln (2 t)$ .

$t (\frac{2 \ln (2 t)}{2 t} \frac{d}{d t} [2 t]) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$t (\frac{2 \ln (2 t)}{2 t} \frac{d}{d t} [2 t]) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$t (\frac{\ln (2 t)}{t} \frac{d}{d t} [2 t]) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4.2.3

Combina $\frac{\ln (2 t)}{t}$ y $t$ .

$\frac{\ln (2 t) t}{t} \frac{d}{d t} [2 t] + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4.2.4

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 4.4.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (2 t) t}{t} \frac{d}{d t} [2 t] + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4.2.4.2

Divide $\ln (2 t)$ por $1$ .

$\ln (2 t) \frac{d}{d t} [2 t] + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4.3

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\ln (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t]) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\ln (2 t) (2 \cdot 1) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.5.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\ln (2 t) \cdot 2 + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (2 t)$ .

$2 \cdot \ln (2 t) + \ln^{2} (2 t) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 4.4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \ln (2 t) + \ln^{2} (2 t) \cdot 1$

Paso 4.4.7

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.7.1

Multiplica $\ln^{2} (2 t)$ por $1$ .

$2 \ln (2 t) + \ln^{2} (2 t)$

Paso 4.4.7.2

Reordena los términos.

$\ln^{2} (2 t) + 2 \ln (2 t)$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \ln^{2} (2 t) + 2 \ln (2 t)$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \ln^{2} (2 t) + 2 \ln (2 t)$