Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (x)}{5 x^{3}}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \tan (x)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{2 \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{2 \tan (0)}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Paso 1.2.3.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x^{3}}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.3.1.1

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.3.1.2

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0^{3}}$

Paso 1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.3.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0}$

Paso 1.3.3.2

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (x)}{5 x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [5 x^{3}]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [5 x^{3}]}$

Paso 3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \tan (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [5 x^{3}]}$

Paso 3.3

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [5 x^{3}]}$

Paso 3.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{3}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x)}{5 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x)}{5 (3 x^{2})}$

Paso 3.6

Multiplica $3$ por $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x)}{15 x^{2}}$

Paso 4

Como el numerador es positivo y el denominador $15 x^{2}$ se acerca a cero y es mayor que cero para $x$ cerca de $0$ en ambos lados, la función aumenta sin cota.

$\infty$