Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{3}}{e^{4 x}}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3}}{lim_{x \to \infty} e^{4 x}}$

Paso 1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{4 x}}$

Paso 1.3

Como el exponente $4 x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{4 x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{3}}{e^{4 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Paso 3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (3 x^{2})}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Paso 3.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2}}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 3.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]}$

Paso 3.5.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2}}{e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]}$

Paso 3.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2}}{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]}$

Paso 3.6

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2}}{e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2}}{e^{4 x} (4 \cdot 1)}$

Paso 3.8

Multiplica $4$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2}}{e^{4 x} \cdot 4}$

Paso 3.9

Mueve $4$ a la izquierda de $e^{4 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2}}{4 \cdot e^{4 x}}$

Paso 3.10

Multiplica $4$ por $e^{4 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2}}{4 e^{4 x}}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $6$ y $4$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $2$ de $6 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (3 x^{2})}{4 e^{4 x}}$

Paso 4.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.1

Factoriza $2$ de $4 e^{4 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2 e^{4 x})}$

Paso 4.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2 e^{4 x})}$

Paso 4.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{2 e^{4 x}}$

Paso 4.2

Mueve el término $\frac{3}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{4 x}}$

Paso 5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{4 x}}$

Paso 5.1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{4 x}}$

Paso 5.1.3

Como el exponente $4 x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{4 x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Paso 5.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Paso 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{4 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Paso 5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Paso 5.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Paso 5.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 5.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]}$

Paso 5.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]}$

Paso 5.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]}$

Paso 5.3.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{4 x} \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 5.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{4 x} \cdot 4 \cdot 1}$

Paso 5.3.6

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{4 x} \cdot 4}$

Paso 5.3.7

Mueve $4$ a la izquierda de $e^{4 x}$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{4 e^{4 x}}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 (x)}{4 e^{4 x}}$

Paso 5.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.2.1

Factoriza $2$ de $4 e^{4 x}$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 (x)}{2 \cdot 2 e^{4 x}}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 \cdot 2 e^{4 x}}$

Paso 5.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{2} lim_{x \to \infty} \frac{x}{2 e^{4 x}}$

Paso 6

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{4 x}}$

Paso 7

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 7.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{4 x}}$

Paso 7.1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{4 x}}$

Paso 7.1.3

Como el exponente $4 x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $e^{4 x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\infty}{\infty}$

Paso 7.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\infty}{\infty}$

Paso 7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{4 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Paso 7.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 7.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Paso 7.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}]}$

Paso 7.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 7.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]}$

Paso 7.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]}$

Paso 7.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]}$

Paso 7.3.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 7.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4 \cdot 1}$

Paso 7.3.6

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4}$

Paso 7.3.7

Mueve $4$ a la izquierda de $e^{4 x}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 e^{4 x}}$

Paso 8

Mueve el término $\frac{1}{4}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{4 x}}$

Paso 9

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{e^{4 x}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{4} \cdot 0$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 10.1.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot \frac{1}{4} \cdot 0$

Paso 10.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot 0$

Paso 10.2

Multiplica $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 10.2.1

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 4} \cdot 0$

Paso 10.2.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{3}{16} \cdot 0$

Paso 10.3

Multiplica $\frac{3}{16}$ por $0$ .

$0$