Cálculo Ejemplos

$y = \sec^{2} (x)$ , $0 \leq x \leq \frac{π}{6}$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$\sec^{2} (x) = 0$

Paso 1.2

Resuelve $\sec^{2} (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sec (x) = \pm \sqrt{0}$

Paso 1.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 1.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\sec (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 1.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\sec (x) = \pm 0$

Paso 1.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$\sec (x) = 0$

Paso 1.2.3

El rango de la secante es $y \leq - 1$ y $y \geq 1$ . Como $0$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) d x - \int_{0}^{\frac{π}{6}} 0 d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $0$ y $\frac{π}{6}$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) - (0) d x$

Paso 3.2

Resta $0$ de $\sec^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) d x$

Paso 3.3

Como la derivada de $\tan (x)$ es $\sec^{2} (x)$ , la integral de $\sec^{2} (x)$ es $\tan (x)$ .

$\tan (x)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Paso 3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.4.1

Evalúa $\tan (x)$ en $\frac{π}{6}$ y en $0$ .

$\tan (\frac{π}{6}) - \tan (0)$

Paso 3.4.2

Simplifica.

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Paso 3.4.2.1

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} - \tan (0)$

Paso 3.4.2.2

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} - 0$

Paso 3.4.2.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} + 0$

Paso 3.4.2.4

Suma $\frac{\sqrt{3}}{3}$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Forma decimal:

$0.57735026 \dots$

Paso 5