Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 9}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x^{2} - 9$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 9) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{2} - 9$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot ((x^{2} - 9) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 x^{3} x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 (x \cdot x^{3})}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 x^{1 + 3}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.6

Simplifica.

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Paso 1.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{(3 x^{2} + 3 \cdot - 9) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot (- 9 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.6.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.6.3.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot (- 9 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{3 x^{2 + 2} + 3 \cdot (- 9 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3.1.1.3

Suma $2$ y $2$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} + 3 \cdot (- 9 x^{2}) - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3.1.2

Multiplica $3$ por $- 9$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4} - 27 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.6.3.2

Resta $2 x^{4}$ de $3 x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x^{4} - 27 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.6.4

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4} - 27 x^{2}$ .

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Paso 1.1.6.4.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} - 27 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.6.4.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 27 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 27}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.6.4.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 27$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Paso 1.1.6.5

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.6.5.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 3^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.6.5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{((x + 3) (x - 3))}^{2}}$

Paso 1.1.6.5.3

Aplica la regla del producto a $(x + 3) (x - 3)$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$x^{2} (x^{2} - 27) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 27 = 0$

Paso 2.3.2

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 2.3.2.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 2.3.2.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 2.3.2.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.3.2.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 2.3.2.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.3.3

Establece $x^{2} - 27$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.3.1

Establece $x^{2} - 27$ igual a $0$ .

$x^{2} - 27 = 0$

Paso 2.3.3.2

Resuelve $x^{2} - 27 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.3.2.1

Suma $27$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 27$

Paso 2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{27}$

Paso 2.3.3.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{27}$ .

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Paso 2.3.3.2.3.1

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.3.3.2.3.1.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$x = \pm \sqrt{9 (3)}$

Paso 2.3.3.2.3.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Paso 2.3.3.2.3.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm 3 \sqrt{3}$

Paso 2.3.3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3 \sqrt{3}$

Paso 2.3.3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3 \sqrt{3}$

Paso 2.3.3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3 \sqrt{3}, - 3 \sqrt{3}$

Paso 2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $x^{2} (x^{2} - 27) = 0$ verdadera.

$x = 0, 3 \sqrt{3}, - 3 \sqrt{3}$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, 3 \sqrt{3}, - 3 \sqrt{3}$ .

$0, 3 \sqrt{3}, - 3 \sqrt{3}$

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 4.2.2

Establece ${(x + 3)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.2.1

Establece ${(x + 3)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Paso 4.2.2.2

Resuelve ${(x + 3)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.2.2.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 4.2.2.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 4.2.3

Establece ${(x - 3)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.3.1

Establece ${(x - 3)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 4.2.3.2

Resuelve ${(x - 3)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.3.2.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 4.2.3.2.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 4.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = - 3, 3$

Paso 4.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = - 3, x = 3$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 3 \sqrt{3}) \cup (- 3 \sqrt{3}, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 3 \sqrt{3}) \cup (3 \sqrt{3}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 3 \sqrt{3})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6.196152$ en la expresión.

$f' (- 6.196152) = \frac{{(- 6.196152)}^{2} ({(- 6.196152)}^{2} - 27)}{{((- 6.196152) + 3)}^{2} {((- 6.196152) - 3)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 6.196152$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 6.196152) = \frac{{(- 6.196152)}^{2} (38.3922996 - 27)}{{(- 6.196152 + 3)}^{2} {(- 6.196152 - 3)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Resta $27$ de $38.3922996$ .

$f' (- 6.196152) = \frac{{(- 6.196152)}^{2} \cdot 11.3922996}{{(- 6.196152 + 3)}^{2} {(- 6.196152 - 3)}^{2}}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $- 6.196152$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 6.196152) = \frac{38.3922996 \cdot 11.3922996}{{(- 6.196152 + 3)}^{2} {(- 6.196152 - 3)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Suma $- 6.196152$ y $3$ .

$f' (- 6.196152) = \frac{38.3922996 \cdot 11.3922996}{{(- 3.196152)}^{2} {(- 6.196152 - 3)}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Resta $3$ de $- 6.196152$ .

$f' (- 6.196152) = \frac{38.3922996 \cdot 11.3922996}{{(- 3.196152)}^{2} {(- 9.196152)}^{2}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $- 3.196152$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 6.196152) = \frac{38.3922996 \cdot 11.3922996}{10.2153876 {(- 9.196152)}^{2}}$

Paso 6.2.2.4

Eleva $- 9.196152$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 6.196152) = \frac{38.3922996 \cdot 11.3922996}{10.2153876 \cdot 84.5692116}$

Paso 6.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.3.1

Multiplica $38.3922996$ por $11.3922996$ .

$f' (- 6.196152) = \frac{437.37657972}{10.2153876 \cdot 84.5692116}$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $10.2153876$ por $84.5692116$ .

$f' (- 6.196152) = \frac{437.37657972}{863.90727619}$

Paso 6.2.3.3

Divide $437.37657972$ por $863.90727619$ .

$f' (- 6.196152) = 0.50627722$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $0.50627722$ .

$0.50627722$

Paso 6.3

En $x = - 6.196152$ la derivada es $0.50627722$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 3 \sqrt{3})$ .

Incremento en $(- \infty, - 3 \sqrt{3})$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 5.196152, - 3)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4.098076$ en la expresión.

$f' (- 4.098076) = \frac{{(- 4.098076)}^{2} ({(- 4.098076)}^{2} - 27)}{{((- 4.098076) + 3)}^{2} {((- 4.098076) - 3)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $- 4.098076$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 4.098076) = \frac{{(- 4.098076)}^{2} (16.7942269 - 27)}{{(- 4.098076 + 3)}^{2} {(- 4.098076 - 3)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Resta $27$ de $16.7942269$ .

$f' (- 4.098076) = \frac{{(- 4.098076)}^{2} \cdot - 10.20577309}{{(- 4.098076 + 3)}^{2} {(- 4.098076 - 3)}^{2}}$

Paso 7.2.1.3

Eleva $- 4.098076$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 4.098076) = \frac{16.7942269 \cdot - 10.20577309}{{(- 4.098076 + 3)}^{2} {(- 4.098076 - 3)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Suma $- 4.098076$ y $3$ .

$f' (- 4.098076) = \frac{16.7942269 \cdot - 10.20577309}{{(- 1.098076)}^{2} {(- 4.098076 - 3)}^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Resta $3$ de $- 4.098076$ .

$f' (- 4.098076) = \frac{16.7942269 \cdot - 10.20577309}{{(- 1.098076)}^{2} {(- 7.098076)}^{2}}$

Paso 7.2.2.3

Eleva $- 1.098076$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 4.098076) = \frac{16.7942269 \cdot - 10.20577309}{1.2057709 {(- 7.098076)}^{2}}$

Paso 7.2.2.4

Eleva $- 7.098076$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 4.098076) = \frac{16.7942269 \cdot - 10.20577309}{1.2057709 \cdot 50.3826829}$

Paso 7.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.3.1

Multiplica $16.7942269$ por $- 10.20577309$ .

$f' (- 4.098076) = \frac{- 171.39806911}{1.2057709 \cdot 50.3826829}$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $1.2057709$ por $50.3826829$ .

$f' (- 4.098076) = \frac{- 171.39806911}{60.74997299}$

Paso 7.2.3.3

Divide $- 171.39806911$ por $60.74997299$ .

$f' (- 4.098076) = - 2.82136864$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $- 2.82136864$ .

$- 2.82136864$

Paso 7.3

En $x = - 4.098076$ la derivada es $- 2.82136864$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 5.196152, - 3)$ .

Decrecimiento en $(- 3 \sqrt{3}, - 3)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(- 3, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{3}{2}$ en la expresión.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- \frac{3}{2})}^{2} ({(- \frac{3}{2})}^{2} - 27)}{{((- \frac{3}{2}) + 3)}^{2} {((- \frac{3}{2}) - 3)}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} ({(- \frac{3}{2})}^{2} - 27)}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.1.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 8.2.1.2.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} - 27)}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.1.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}) - 27)}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) - 27)}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}} - 27)}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} (\frac{9}{2^{2}} - 27)}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.1.6

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} (\frac{9}{4} - 27)}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.1.7

Para escribir $- 27$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} (\frac{9}{4} - 27 \cdot \frac{4}{4})}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.1.8

Combina $- 27$ y $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} (\frac{9}{4} + \frac{- 27 \cdot 4}{4})}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.1.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} (\frac{9 - 27 \cdot 4}{4})}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.1.10

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.10.1

Multiplica $- 27$ por $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} (\frac{9 - 108}{4})}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.1.10.2

Resta $108$ de $9$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} (\frac{- 99}{4})}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.1.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} \cdot (- 1 (\frac{99}{4}))}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.1.12

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.12.1

Factoriza el negativo.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} (\frac{99}{4}))}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.1.12.2

Combina $\frac{99}{4}$ y ${(- 1)}^{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{99 {(- 1)}^{2}}{4} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2})}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.1.12.3

Combina $\frac{99 {(- 1)}^{2}}{4}$ y ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{99 {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}{4}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.1.13

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.13.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{99 {(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})}{4}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.1.13.2

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.13.2.1

Combina $99$ y $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{{(- 1)}^{2} (\frac{99 \cdot 3^{2}}{2^{2}})}{4}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.1.13.2.2

Combina ${(- 1)}^{2}$ y $\frac{99 \cdot 3^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{\frac{{(- 1)}^{2} (99 \cdot 3^{2})}{2^{2}}}{4}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.1.13.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.13.3.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{\frac{1 \cdot 99 \cdot 3^{2}}{2^{2}}}{4}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.1.13.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{\frac{1 \cdot 99 \cdot 9}{2^{2}}}{4}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.1.13.3.3

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.13.3.3.1

Multiplica $99$ por $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{\frac{99 \cdot 9}{2^{2}}}{4}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.1.13.3.3.2

Multiplica $99$ por $9$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{\frac{891}{2^{2}}}{4}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.1.13.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{\frac{891}{4}}{4}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.1.14

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{891}{4} \cdot \frac{1}{4})}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.1.15

Multiplica $\frac{891}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.15.1

Multiplica $\frac{891}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{4 \cdot 4}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.1.15.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(- \frac{3}{2} + 3)}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(- \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2})}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.2.2

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(- \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2})}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(\frac{- 3 + 3 \cdot 2}{2})}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.2.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.4.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(\frac{- 3 + 6}{2})}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.2.4.2

Suma $- 3$ y $6$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(\frac{3}{2})}^{2} {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.2.5

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 8.2.2.6

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.7

Combina $- 3$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 3 - 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.9

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.9.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 3 - 6}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.9.2

Resta $6$ de $- 3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 9}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{9}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.11

Aplica la regla del producto a $- \frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{9}{2})}^{2})}$

Paso 8.2.2.12

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.12.1

Combina $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ y ${(- 1)}^{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{9}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.12.2

Combina $\frac{3^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}}$ y ${(\frac{9}{2})}^{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2} {(- 1)}^{2} {(\frac{9}{2})}^{2}}{2^{2}}}$

Paso 8.2.2.13

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.13.1

Aplica la regla del producto a $\frac{9}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{3^{2} {(- 1)}^{2} (\frac{9^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Paso 8.2.2.13.2

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.13.2.1

Combina $3^{2}$ y $\frac{9^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{2} \cdot 9^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Paso 8.2.2.13.2.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{2} \cdot {(3^{2})}^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Paso 8.2.2.13.2.3

Multiplica los exponentes en ${(3^{2})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.13.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{2} \cdot 3^{2 \cdot 2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Paso 8.2.2.13.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{2} \cdot 3^{4}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Paso 8.2.2.13.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{2 + 4}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Paso 8.2.2.13.2.5

Suma $2$ y $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{6}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Paso 8.2.2.13.2.6

Combina ${(- 1)}^{2}$ y $\frac{3^{6}}{2^{2}}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{{(- 1)}^{2} \cdot 3^{6}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Paso 8.2.2.13.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.13.3.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{1 \cdot 3^{6}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Paso 8.2.2.13.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $6$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{1 \cdot 729}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Paso 8.2.2.13.3.3

Multiplica $729$ por $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{729}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Paso 8.2.2.13.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{729}{4}}{2^{2}}}$

Paso 8.2.2.14

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{729}{4}}{4}}$

Paso 8.2.2.15

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{729}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

Paso 8.2.2.16

Multiplica $\frac{729}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.16.1

Multiplica $\frac{729}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{729}{4 \cdot 4}}$

Paso 8.2.2.16.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{729}{16}}$

Paso 8.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{891}{16} \cdot \frac{16}{729}$

Paso 8.2.4

Cancela el factor común de $81$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{891}{16}$ al numerador.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 891}{16} \cdot \frac{16}{729}$

Paso 8.2.4.2

Factoriza $81$ de $- 891$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{81 (- 11)}{16} \cdot \frac{16}{729}$

Paso 8.2.4.3

Factoriza $81$ de $729$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{81 \cdot - 11}{16} \cdot \frac{16}{81 \cdot 9}$

Paso 8.2.4.4

Cancela el factor común.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{81 \cdot - 11}{16} \cdot \frac{16}{81 \cdot 9}$

Paso 8.2.4.5

Reescribe la expresión.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 11}{16} \cdot \frac{16}{9}$

Paso 8.2.5

Cancela el factor común de $16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.5.1

Cancela el factor común.

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 11}{16} \cdot \frac{16}{9}$

Paso 8.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 11 (\frac{1}{9})$

Paso 8.2.6

Combina $- 11$ y $\frac{1}{9}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 11}{9}$

Paso 8.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{11}{9}$

Paso 8.2.8

La respuesta final es $- \frac{11}{9}$ .

$- \frac{11}{9}$

Paso 8.3

En $x = - \frac{3}{2}$ la derivada es $- \frac{11}{9}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 3, 0)$ .

Decrecimiento en $(- 3, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(0, 3)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{3}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{{(\frac{3}{2})}^{2} ({(\frac{3}{2})}^{2} - 27)}{{((\frac{3}{2}) + 3)}^{2} {((\frac{3}{2}) - 3)}^{2}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot ({(\frac{3}{2})}^{2} - 27)}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 9.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot (\frac{3^{2}}{2^{2}} - 27)}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 9.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot (\frac{9}{2^{2}} - 27)}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 9.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot (\frac{9}{4} - 27)}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 9.2.1.5

Para escribir $- 27$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot (\frac{9}{4} - 27 \cdot \frac{4}{4})}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 9.2.1.6

Combina $- 27$ y $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot (\frac{9}{4} + \frac{- 27 \cdot 4}{4})}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 9.2.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot \frac{9 - 27 \cdot 4}{4}}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 9.2.1.8

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1.8.1

Multiplica $- 27$ por $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot \frac{9 - 108}{4}}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 9.2.1.8.2

Resta $108$ de $9$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot \frac{- 99}{4}}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 9.2.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot (- 1 (\frac{99}{4}))}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 9.2.1.10

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1.10.1

Factoriza el negativo.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot \frac{99}{4})}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 9.2.1.10.2

Multiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $\frac{99}{4}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{3^{2} \cdot 99}{2^{2} \cdot 4}}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 9.2.1.10.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{3^{2} \cdot 99}{2^{2} \cdot 2^{2}}}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 9.2.1.10.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{3^{2} \cdot 99}{2^{2 + 2}}}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 9.2.1.10.5

Suma $2$ y $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{3^{2} \cdot 99}{2^{4}}}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 9.2.1.11

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{9 \cdot 99}{2^{4}}}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 9.2.1.12

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{9 \cdot 99}{16}}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 9.2.1.13

Multiplica $9$ por $99$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(\frac{3}{2} + 3)}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 9.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.1

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(\frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2})}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 9.2.2.2

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(\frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2})}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 9.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(\frac{3 + 3 \cdot 2}{2})}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 9.2.2.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.4.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(\frac{3 + 6}{2})}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 9.2.2.4.2

Suma $3$ y $6$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{{(\frac{9}{2})}^{2} {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 9.2.2.5

Aplica la regla del producto a $\frac{9}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Paso 9.2.2.6

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Paso 9.2.2.7

Combina $- 3$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Paso 9.2.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3 - 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Paso 9.2.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.2.9.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3 - 6}{2})}^{2}}$

Paso 9.2.2.9.2

Resta $6$ de $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{- 3}{2})}^{2}}$

Paso 9.2.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2}}{2^{2}} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 9.2.2.11

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2}}{2^{2}} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})}$

Paso 9.2.2.12

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.12.1

Combina $\frac{9^{2}}{2^{2}}$ y ${(- 1)}^{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 9.2.2.12.2

Combina $\frac{9^{2} {(- 1)}^{2}}{2^{2}}$ y ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2} {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}{2^{2}}}$

Paso 9.2.2.13

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.13.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{9^{2} {(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Paso 9.2.2.13.2

Combina exponentes.

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Paso 9.2.2.13.2.1

Combina $9^{2}$ y $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{9^{2} \cdot 3^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Paso 9.2.2.13.2.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{{(3^{2})}^{2} \cdot 3^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Paso 9.2.2.13.2.3

Multiplica los exponentes en ${(3^{2})}^{2}$ .

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Paso 9.2.2.13.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{2 \cdot 2} \cdot 3^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Paso 9.2.2.13.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{4} \cdot 3^{2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Paso 9.2.2.13.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{4 + 2}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Paso 9.2.2.13.2.5

Suma $4$ y $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{6}}{2^{2}})}{2^{2}}}$

Paso 9.2.2.13.2.6

Combina ${(- 1)}^{2}$ y $\frac{3^{6}}{2^{2}}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{{(- 1)}^{2} \cdot 3^{6}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Paso 9.2.2.13.3

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.2.13.3.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{1 \cdot 3^{6}}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Paso 9.2.2.13.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $6$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{1 \cdot 729}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Paso 9.2.2.13.3.3

Multiplica $729$ por $1$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{729}{2^{2}}}{2^{2}}}$

Paso 9.2.2.13.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{729}{4}}{2^{2}}}$

Paso 9.2.2.14

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{\frac{729}{4}}{4}}$

Paso 9.2.2.15

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{729}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

Paso 9.2.2.16

Multiplica $\frac{729}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 9.2.2.16.1

Multiplica $\frac{729}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{729}{4 \cdot 4}}$

Paso 9.2.2.16.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{891}{16}}{\frac{729}{16}}$

Paso 9.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{891}{16} \cdot \frac{16}{729}$

Paso 9.2.4

Cancela el factor común de $81$ .

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Paso 9.2.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{891}{16}$ al numerador.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 891}{16} \cdot \frac{16}{729}$

Paso 9.2.4.2

Factoriza $81$ de $- 891$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{81 (- 11)}{16} \cdot \frac{16}{729}$

Paso 9.2.4.3

Factoriza $81$ de $729$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{81 \cdot - 11}{16} \cdot \frac{16}{81 \cdot 9}$

Paso 9.2.4.4

Cancela el factor común.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{81 \cdot - 11}{16} \cdot \frac{16}{81 \cdot 9}$

Paso 9.2.4.5

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 11}{16} \cdot \frac{16}{9}$

Paso 9.2.5

Cancela el factor común de $16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.5.1

Cancela el factor común.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 11}{16} \cdot \frac{16}{9}$

Paso 9.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{3}{2}) = - 11 (\frac{1}{9})$

Paso 9.2.6

Combina $- 11$ y $\frac{1}{9}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 11}{9}$

Paso 9.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{11}{9}$

Paso 9.2.8

La respuesta final es $- \frac{11}{9}$ .

$- \frac{11}{9}$

Paso 9.3

En $x = \frac{3}{2}$ la derivada es $- \frac{11}{9}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 3)$ .

Decrecimiento en $(0, 3)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 10

Sustituye un valor del intervalo $(3, 3 \sqrt{3})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Reemplaza la variable $x$ con $4.098076$ en la expresión.

$f' (4.098076) = \frac{{(4.098076)}^{2} ({(4.098076)}^{2} - 27)}{{((4.098076) + 3)}^{2} {((4.098076) - 3)}^{2}}$

Paso 10.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1.1

Eleva $4.098076$ a la potencia de $2$ .

$f' (4.098076) = \frac{{4.098076}^{2} (16.7942269 - 27)}{{(4.098076 + 3)}^{2} {(4.098076 - 3)}^{2}}$

Paso 10.2.1.2

Resta $27$ de $16.7942269$ .

$f' (4.098076) = \frac{{4.098076}^{2} \cdot - 10.20577309}{{(4.098076 + 3)}^{2} {(4.098076 - 3)}^{2}}$

Paso 10.2.1.3

Eleva $4.098076$ a la potencia de $2$ .

$f' (4.098076) = \frac{16.7942269 \cdot - 10.20577309}{{(4.098076 + 3)}^{2} {(4.098076 - 3)}^{2}}$

Paso 10.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.1

Suma $4.098076$ y $3$ .

$f' (4.098076) = \frac{16.7942269 \cdot - 10.20577309}{{7.098076}^{2} {(4.098076 - 3)}^{2}}$

Paso 10.2.2.2

Resta $3$ de $4.098076$ .

$f' (4.098076) = \frac{16.7942269 \cdot - 10.20577309}{{7.098076}^{2} \cdot {1.098076}^{2}}$

Paso 10.2.2.3

Eleva $7.098076$ a la potencia de $2$ .

$f' (4.098076) = \frac{16.7942269 \cdot - 10.20577309}{50.3826829 \cdot {1.098076}^{2}}$

Paso 10.2.2.4

Eleva $1.098076$ a la potencia de $2$ .

$f' (4.098076) = \frac{16.7942269 \cdot - 10.20577309}{50.3826829 \cdot 1.2057709}$

Paso 10.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.3.1

Multiplica $16.7942269$ por $- 10.20577309$ .

$f' (4.098076) = \frac{- 171.39806911}{50.3826829 \cdot 1.2057709}$

Paso 10.2.3.2

Multiplica $50.3826829$ por $1.2057709$ .

$f' (4.098076) = \frac{- 171.39806911}{60.74997299}$

Paso 10.2.3.3

Divide $- 171.39806911$ por $60.74997299$ .

$f' (4.098076) = - 2.82136864$

Paso 10.2.4

La respuesta final es $- 2.82136864$ .

$- 2.82136864$

Paso 10.3

En $x = 4.098076$ la derivada es $- 2.82136864$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(3, 3 \sqrt{3})$ .

Decrecimiento en $(3, 3 \sqrt{3})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 11

Sustituye un valor del intervalo $(3 \sqrt{3}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $6.196152$ en la expresión.

$f' (6.196152) = \frac{{(6.196152)}^{2} ({(6.196152)}^{2} - 27)}{{((6.196152) + 3)}^{2} {((6.196152) - 3)}^{2}}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.1

Eleva $6.196152$ a la potencia de $2$ .

$f' (6.196152) = \frac{{6.196152}^{2} (38.3922996 - 27)}{{(6.196152 + 3)}^{2} {(6.196152 - 3)}^{2}}$

Paso 11.2.1.2

Resta $27$ de $38.3922996$ .

$f' (6.196152) = \frac{{6.196152}^{2} \cdot 11.3922996}{{(6.196152 + 3)}^{2} {(6.196152 - 3)}^{2}}$

Paso 11.2.1.3

Eleva $6.196152$ a la potencia de $2$ .

$f' (6.196152) = \frac{38.3922996 \cdot 11.3922996}{{(6.196152 + 3)}^{2} {(6.196152 - 3)}^{2}}$

Paso 11.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.1

Suma $6.196152$ y $3$ .

$f' (6.196152) = \frac{38.3922996 \cdot 11.3922996}{{9.196152}^{2} {(6.196152 - 3)}^{2}}$

Paso 11.2.2.2

Resta $3$ de $6.196152$ .

$f' (6.196152) = \frac{38.3922996 \cdot 11.3922996}{{9.196152}^{2} \cdot {3.196152}^{2}}$

Paso 11.2.2.3

Eleva $9.196152$ a la potencia de $2$ .

$f' (6.196152) = \frac{38.3922996 \cdot 11.3922996}{84.5692116 \cdot {3.196152}^{2}}$

Paso 11.2.2.4

Eleva $3.196152$ a la potencia de $2$ .

$f' (6.196152) = \frac{38.3922996 \cdot 11.3922996}{84.5692116 \cdot 10.2153876}$

Paso 11.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.3.1

Multiplica $38.3922996$ por $11.3922996$ .

$f' (6.196152) = \frac{437.37657972}{84.5692116 \cdot 10.2153876}$

Paso 11.2.3.2

Multiplica $84.5692116$ por $10.2153876$ .

$f' (6.196152) = \frac{437.37657972}{863.90727619}$

Paso 11.2.3.3

Divide $437.37657972$ por $863.90727619$ .

$f' (6.196152) = 0.50627722$

Paso 11.2.4

La respuesta final es $0.50627722$ .

$0.50627722$

Paso 11.3

En $x = 6.196152$ la derivada es $0.50627722$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(3 \sqrt{3}, \infty)$ .

Incremento en $(3 \sqrt{3}, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 12

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 3 \sqrt{3}), (3 \sqrt{3}, \infty)$

Decrecimiento en: $(- 3 \sqrt{3}, - 3), (- 3, 0), (0, 3), (3, 3 \sqrt{3})$

Paso 13