Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 x - 2 x^{- 2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 2 x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{- 2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{- 2})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{- 2})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2 x^{- 2})$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$f' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (- 2 x^{- 2})$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{- 2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$f' (x) = 4 - 2 \frac{d}{d x} x^{- 2}$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$f' (x) = 4 - 2 (- 2 x^{- 3})$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$f' (x) = 4 + 4 x^{- 3}$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Reordena los términos.

$f' (x) = 4 x^{- 3} + 4$

Paso 1.1.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{1}{x^{3}}) + 4$

Paso 1.1.4.2.2

Combina $4$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4}{x^{3}} + 4$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{x^{3}} + 4$ .

$\frac{4}{x^{3}} + 4$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{4}{x^{3}} + 4 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{4}{x^{3}} + 4 = 0$

Paso 2.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{4}{x^{3}} = - 4$

Paso 2.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{3}, 1$

Paso 2.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{3}$

Paso 2.4

Multiplica cada término en $\frac{4}{x^{3}} = - 4$ por $x^{3}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.4.1

Multiplica cada término en $\frac{4}{x^{3}} = - 4$ por $x^{3}$ .

$\frac{4}{x^{3}} x^{3} = - 4 x^{3}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{x^{3}} x^{3} = - 4 x^{3}$

Paso 2.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$4 = - 4 x^{3}$

Paso 2.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.5.1

Reescribe la ecuación como $- 4 x^{3} = 4$ .

$- 4 x^{3} = 4$

Paso 2.5.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x^{3} - 4 = 0$

Paso 2.5.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.5.3.1

Factoriza $- 4$ de $- 4 x^{3} - 4$ .

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Paso 2.5.3.1.1

Factoriza $- 4$ de $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x^{3} - 4 = 0$

Paso 2.5.3.1.2

Factoriza $- 4$ de $- 4$ .

$- 4 x^{3} - 4 \cdot 1 = 0$

Paso 2.5.3.1.3

Factoriza $- 4$ de $- 4 (x^{3}) - 4 (1)$ .

$- 4 (x^{3} + 1) = 0$

Paso 2.5.3.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$- 4 (x^{3} + 1^{3}) = 0$

Paso 2.5.3.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$- 4 ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Paso 2.5.3.4

Factoriza.

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Paso 2.5.3.4.1

Simplifica.

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Paso 2.5.3.4.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 4 ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) = 0$

Paso 2.5.3.4.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 4 ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) = 0$

Paso 2.5.3.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 4 (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Paso 2.5.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Paso 2.5.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.5.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.5.6

Establece $x^{2} - x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.6.1

Establece $x^{2} - x + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Paso 2.5.6.2

Resuelve $x^{2} - x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.5.6.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 1$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.3

Simplifica.

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Paso 2.5.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.6.2.3.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 2.5.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.3.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.3.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5.6.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.5.6.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.6.2.4.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 2.5.6.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.4.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.4.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5.6.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5.6.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.5.6.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.6.2.5.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 2.5.6.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.5.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.5.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.6.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5.6.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5.6.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 4 (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ verdadera.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $- 1$ .

$- 1$

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{4}{x^{3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 4.2.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = \frac{4}{{(- 2)}^{3}} + 4$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 2) = \frac{4}{- 8} + 4$

Paso 6.2.1.2

Cancela el factor común de $4$ y $- 8$ .

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Paso 6.2.1.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$f' (- 2) = \frac{4 (1)}{- 8} + 4$

Paso 6.2.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.1.2.2.1

Factoriza $4$ de $- 8$ .

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 2} + 4$

Paso 6.2.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 2} + 4$

Paso 6.2.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (- 2) = \frac{1}{- 2} + 4$

Paso 6.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} + 4$

Paso 6.2.2

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 6.2.3

Combina $4$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- 2) = \frac{- 1 + 4 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.5.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 1 + 8}{2}$

Paso 6.2.5.2

Suma $- 1$ y $8$ .

$f' (- 2) = \frac{7}{2}$

Paso 6.2.6

La respuesta final es $\frac{7}{2}$ .

$\frac{7}{2}$

Paso 6.3

En $x = - 2$ la derivada es $\frac{7}{2}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 1)$ .

Incremento en $(- \infty, - 1)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{1}{2}$ en la expresión.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{{(- \frac{1}{2})}^{3}} + 4$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{{(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}} + 4$

Paso 7.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{- {(\frac{1}{2})}^{3}} + 4$

Paso 7.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{- \frac{1^{3}}{2^{3}}} + 4$

Paso 7.2.1.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{- \frac{1}{2^{3}}} + 4$

Paso 7.2.1.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4}{- \frac{1}{8}} + 4$

Paso 7.2.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (- 1 \cdot 8) + 4$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $4 (- 1 \cdot 8)$ .

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Paso 7.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot - 8 + 4$

Paso 7.2.1.3.2

Multiplica $4$ por $- 8$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 32 + 4$

Paso 7.2.2

Suma $- 32$ y $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 28$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 28$ .

$- 28$

Paso 7.3

En $x = - \frac{1}{2}$ la derivada es $- 28$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 1, 0)$ .

Decrecimiento en $(- 1, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = \frac{4}{{(1)}^{3}} + 4$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = \frac{4}{1} + 4$

Paso 8.2.1.2

Divide $4$ por $1$ .

$f' (1) = 4 + 4$

Paso 8.2.2

Suma $4$ y $4$ .

$f' (1) = 8$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $8$ .

$8$

Paso 8.3

En $x = 1$ la derivada es $8$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 1), (0, \infty)$

Decrecimiento en: $(- 1, 0)$

Paso 10