Cálculo Ejemplos

$x^{\frac{19}{9}} + x^{\frac{10}{9}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{19}{9}} + x^{\frac{10}{9}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{19}{9}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{19}{9}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{19}{9}}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{19}{9}$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{19}{9} - 1} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

Paso 1.1.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{19}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

Paso 1.1.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{9}{9}$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{19}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

Paso 1.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{19}{9} x^{\frac{19 - 1 \cdot 9}{9}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

Paso 1.1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{19 - 9}{9}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

Paso 1.1.2.5.2

Resta $9$ de $19$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{10}{9}}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{10}{9}$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{10}{9} x^{\frac{10}{9} - 1}$

Paso 1.1.3.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{10}{9} x^{\frac{10}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}}$

Paso 1.1.3.3

Combina $- 1$ y $\frac{9}{9}$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{10}{9} x^{\frac{10}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}}$

Paso 1.1.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{10}{9} x^{\frac{10 - 1 \cdot 9}{9}}$

Paso 1.1.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{10}{9} x^{\frac{10 - 9}{9}}$

Paso 1.1.3.5.2

Resta $9$ de $10$ .

$\frac{19}{9} x^{\frac{10}{9}} + \frac{10}{9} x^{\frac{1}{9}}$

Paso 1.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.1

Combina $\frac{19}{9}$ y $x^{\frac{10}{9}}$ .

$\frac{19 x^{\frac{10}{9}}}{9} + \frac{10}{9} x^{\frac{1}{9}}$

Paso 1.1.4.2

Combina $\frac{10}{9}$ y $x^{\frac{1}{9}}$ .

$f' (x) = \frac{19 x^{\frac{10}{9}}}{9} + \frac{10 x^{\frac{1}{9}}}{9}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{19 x^{\frac{10}{9}}}{9} + \frac{10 x^{\frac{1}{9}}}{9}$ .

$\frac{19 x^{\frac{10}{9}}}{9} + \frac{10 x^{\frac{1}{9}}}{9}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{19 x^{\frac{10}{9}}}{9} + \frac{10 x^{\frac{1}{9}}}{9} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{19 x^{\frac{10}{9}}}{9} + \frac{10 x^{\frac{1}{9}}}{9} = 0$

Paso 2.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x \approx - 0.52631578, 0$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $x^{\frac{19}{9}} + x^{\frac{10}{9}}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Sustituye $- 0.52631578$ por $x$ .

${(- 0.52631578)}^{\frac{19}{9}} + {(- 0.52631578)}^{\frac{10}{9}}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $0$ por $x$ .

${(0)}^{\frac{19}{9}} + {(0)}^{\frac{10}{9}}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{9}$ .

${(0^{9})}^{\frac{19}{9}} + {(0)}^{\frac{10}{9}}$

Paso 4.2.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{9 (\frac{19}{9})} + {(0)}^{\frac{10}{9}}$

Paso 4.2.2.1.3

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 4.2.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$0^{9 (\frac{19}{9})} + {(0)}^{\frac{10}{9}}$

Paso 4.2.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$0^{19} + {(0)}^{\frac{10}{9}}$

Paso 4.2.2.1.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + {(0)}^{\frac{10}{9}}$

Paso 4.2.2.1.5

Reescribe $0$ como $0^{9}$ .

$0 + {(0^{9})}^{\frac{10}{9}}$

Paso 4.2.2.1.6

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 0^{9 (\frac{10}{9})}$

Paso 4.2.2.1.7

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 4.2.2.1.7.1

Cancela el factor común.

$0 + 0^{9 (\frac{10}{9})}$

Paso 4.2.2.1.7.2

Reescribe la expresión.

$0 + 0^{10}$

Paso 4.2.2.1.8

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + 0$

Paso 4.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(- 0.52631578, {(- 0.52631578)}^{\frac{19}{9}} + {(- 0.52631578)}^{\frac{10}{9}}), (0, 0)$

Paso 5