Cálculo Ejemplos

$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1

Escribe $1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$ como una función.

$f (x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Paso 2.1.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1})$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 2.1.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}$

Paso 2.1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}$

Paso 2.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - {(x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Paso 2.1.3.4

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Paso 2.1.3.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - x^{2 \cdot - 2} (2 x)$

Paso 2.1.3.4.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - x^{- 4} (2 x)$

Paso 2.1.3.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 2 x^{- 4} x$

Paso 2.1.3.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 2 (x \cdot x^{- 4})$

Paso 2.1.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 2 x^{1 - 4}$

Paso 2.1.3.8

Resta $4$ de $1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 2 x^{- 3}$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 2 x^{- 3}$

Paso 2.1.4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 2 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 2.1.4.3

Combina los términos.

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Paso 2.1.4.3.1

Resta $\frac{1}{x^{2}}$ de $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - 2 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 2.1.4.3.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{3}}$

Paso 2.1.4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} = 0$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{2}, x^{3}, 1$

Paso 3.2.2

Since $x^{2}, x^{3}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{3}$ .

Paso 3.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 3.2.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 3.2.5

El MCM de $1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 3.2.6

Los factores para $x^{2}$ son $x \cdot x$ , que es $x$ multiplicada una por la otra $2$ veces.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ ocurre $2$ veces.

Paso 3.2.7

Los factores para $x^{3}$ son $x \cdot x \cdot x$ , que es $x$ multiplicada una por la otra $3$ veces.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ ocurre $3$ veces.

Paso 3.2.8

El MCM de $x^{2}, x^{3}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x \cdot x \cdot x$

Paso 3.2.9

Simplifica $x \cdot x \cdot x$ .

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Paso 3.2.9.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} \cdot x$

Paso 3.2.9.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.9.2.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 3.2.9.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1}$

Paso 3.2.9.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2 + 1}$

Paso 3.2.9.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$x^{3}$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} = 0$ por $x^{3}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} = 0$ por $x^{3}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{3} - \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x^{2}}$ al numerador.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{3} - \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x) - \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Paso 3.3.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x) - \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Paso 3.3.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- x - \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Paso 3.3.2.1.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 3.3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{x^{3}}$ al numerador.

$- x + \frac{- 2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Paso 3.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$- x + \frac{- 2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Paso 3.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$- x - 2 = 0 x^{3}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Multiplica $0$ por $x^{3}$ .

$- x - 2 = 0$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$- x = 2$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $- x = 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $- x = 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{2}{- 1}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{2}{- 1}$

Paso 3.4.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{- 1}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.1

Divide $2$ por $- 1$ .

$x = - 2$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $- 2$ .

$- 2$

Paso 5

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 5.1

Establece el denominador en $\frac{1}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 5.2

Resuelve $x$

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Paso 5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 5.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 5.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 5.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 5.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 5.3

Establece el denominador en $\frac{2}{x^{3}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{3} = 0$

Paso 5.4

Resuelve $x$

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Paso 5.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 5.4.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 5.4.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 5.4.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 6

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 2)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f' (- 3) = - \frac{1}{{(- 3)}^{2}} - \frac{2}{{(- 3)}^{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{1}{9} - \frac{2}{{(- 3)}^{3}}$

Paso 7.2.1.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 3) = - \frac{1}{9} - \frac{2}{- 27}$

Paso 7.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 3) = - \frac{1}{9} + \frac{2}{27}$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $- - \frac{2}{27}$ .

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Paso 7.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f' (- 3) = - \frac{1}{9} + 1 (\frac{2}{27})$

Paso 7.2.1.4.2

Multiplica $\frac{2}{27}$ por $1$ .

$f' (- 3) = - \frac{1}{9} + \frac{2}{27}$

Paso 7.2.2

Para escribir $- \frac{1}{9}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 3) = - \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{27}$

Paso 7.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $27$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 3) = - \frac{3}{9 \cdot 3} + \frac{2}{27}$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $9$ por $3$ .

$f' (- 3) = - \frac{3}{27} + \frac{2}{27}$

Paso 7.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- 3) = \frac{- 3 + 2}{27}$

Paso 7.2.5

Suma $- 3$ y $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 1}{27}$

Paso 7.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 3) = - \frac{1}{27}$

Paso 7.2.7

La respuesta final es $- \frac{1}{27}$ .

$- \frac{1}{27}$

Paso 7.3

En $x = - 3$ la derivada es $- \frac{1}{27}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - 2)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 2)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(- 2, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}} - \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{1} - \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Paso 8.2.1.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 8.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$f' (- 1) = - \frac{1}{1} - \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Paso 8.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f' (- 1) = - 1 \cdot 1 - \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (- 1) = - 1 - \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Paso 8.2.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 1) = - 1 - \frac{2}{- 1}$

Paso 8.2.1.5

Divide $2$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 1 + 2$

Paso 8.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f' (- 1) = - 1 + 2$

Paso 8.2.2

Suma $- 1$ y $2$ .

$f' (- 1) = 1$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 8.3

En $x = - 1$ la derivada es $1$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 2, 0)$ .

Incremento en $(- 2, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = - \frac{1}{{(1)}^{2}} - \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = - \frac{1}{1} - \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Paso 9.2.1.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 9.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$f' (1) = - \frac{1}{1} - \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Paso 9.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f' (1) = - 1 \cdot 1 - \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Paso 9.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (1) = - 1 - \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Paso 9.2.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = - 1 - \frac{2}{1}$

Paso 9.2.1.5

Divide $2$ por $1$ .

$f' (1) = - 1 - 1 \cdot 2$

Paso 9.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (1) = - 1 - 2$

Paso 9.2.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$f' (1) = - 3$

Paso 9.2.3

La respuesta final es $- 3$ .

$- 3$

Paso 9.3

En $x = 1$ la derivada es $- 3$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, \infty)$ .

Decrecimiento en $(0, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 10

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- 2, 0)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - 2), (0, \infty)$

Paso 11