Cálculo Ejemplos

$15 (\cos (\frac{23 π}{12}) + i \sin (\frac{23 π}{12}))$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

El valor exacto de $\cos (\frac{23 π}{12})$ es $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 1.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$15 (\cos (\frac{π}{12}) + i \sin (\frac{23 π}{12}))$

Paso 1.1.2

Divide $\frac{π}{12}$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$15 (\cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) + i \sin (\frac{23 π}{12}))$

Paso 1.1.3

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$15 (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{23 π}{12}))$

Paso 1.1.4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$15 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{23 π}{12}))$

Paso 1.1.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$15 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{23 π}{12}))$

Paso 1.1.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$15 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{23 π}{12}))$

Paso 1.1.7

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$15 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (\frac{23 π}{12}))$

Paso 1.1.8

Simplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.1.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.8.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 1.1.8.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$15 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (\frac{23 π}{12}))$

Paso 1.1.8.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$15 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (\frac{23 π}{12}))$

Paso 1.1.8.1.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$15 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (\frac{23 π}{12}))$

Paso 1.1.8.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$15 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (\frac{23 π}{12}))$

Paso 1.1.8.1.2

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.1.8.1.2.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$15 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + i \sin (\frac{23 π}{12}))$

Paso 1.1.8.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$15 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + i \sin (\frac{23 π}{12}))$

Paso 1.1.8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$15 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \sin (\frac{23 π}{12}))$

Paso 1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{23 π}{12})$ es $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Paso 1.2.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$15 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (- \sin (\frac{π}{12})))$

Paso 1.2.2

Divide $\frac{π}{12}$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$15 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (- \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})))$

Paso 1.2.3

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos.

$15 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (- (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))))$

Paso 1.2.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$15 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))))$

Paso 1.2.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$15 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))))$

Paso 1.2.6

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$15 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))))$

Paso 1.2.7

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$15 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))$

Paso 1.2.8

Simplifica $- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$ .

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Paso 1.2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.8.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 1.2.8.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$15 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (- (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))$

Paso 1.2.8.1.1.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$15 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (- (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))$

Paso 1.2.8.1.1.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$15 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))$

Paso 1.2.8.1.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$15 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))$

Paso 1.2.8.1.2

Multiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 1.2.8.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$15 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})))$

Paso 1.2.8.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$15 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})))$

Paso 1.2.8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$15 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}))$

Paso 1.3

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$15 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \frac{i (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4})$

Paso 2

Combina fracciones.

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Paso 2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

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Paso 2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$15 \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} - i \sqrt{6} - i (- \sqrt{2})}{4}$

Paso 2.1.2

Multiplica $- i (- \sqrt{2})$ .

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Paso 2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$15 \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} - i \sqrt{6} + 1 i \sqrt{2}}{4}$

Paso 2.1.2.2

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$15 \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} - i \sqrt{6} + \sqrt{2} i}{4}$

Paso 2.2

Combina $15$ y $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} - i \sqrt{6} + \sqrt{2} i}{4}$ .

$\frac{15 (\sqrt{6} + \sqrt{2} - i \sqrt{6} + \sqrt{2} i)}{4}$