Cálculo Ejemplos

$\frac{7 e^{x} + 7 e^{- x}}{2}$

Paso 1

Escribe $\frac{7 e^{x} + 7 e^{- x}}{2}$ como una función.

$f (x) = \frac{7 e^{x} + 7 e^{- x}}{2}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{7 e^{x} + 7 e^{- x}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [7 e^{x} + 7 e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [7 e^{x} + 7 e^{- x}]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $7 e^{x} + 7 e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 e^{x}] + \frac{d}{d x} [7 e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [7 e^{x}] + \frac{d}{d x} [7 e^{- x}])$

Paso 2.1.3

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 e^{x}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{1}{2} (7 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [7 e^{- x}])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (7 e^{x} + \frac{d}{d x} [7 e^{- x}])$

Paso 2.3

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 e^{- x}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} (7 e^{x} + 7 \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$\frac{1}{2} (7 e^{x} + 7 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]))$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (7 e^{x} + 7 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]))$

Paso 2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$\frac{1}{2} (7 e^{x} + 7 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

Paso 2.5

Diferencia.

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Paso 2.5.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} (7 e^{x} + 7 e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 2.5.2

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{1}{2} (7 e^{x} - 7 e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (7 e^{x} - 7 e^{- x} \cdot 1)$

Paso 2.5.4

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (7 e^{x} - 7 e^{- x})$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} (7 e^{x}) + \frac{1}{2} (- 7 e^{- x})$

Paso 2.6.2

Combina los términos.

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Paso 2.6.2.1

Combina $7$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- 7 e^{- x})$

Paso 2.6.2.2

Combina $\frac{7}{2}$ y $e^{x}$ .

$\frac{7 e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- 7 e^{- x})$

Paso 2.6.2.3

Combina $- 7$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{7 e^{x}}{2} + \frac{- 7}{2} e^{- x}$

Paso 2.6.2.4

Combina $\frac{- 7}{2}$ y $e^{- x}$ .

$\frac{7 e^{x}}{2} + \frac{- 7 e^{- x}}{2}$

Paso 2.6.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{7 e^{x}}{2} - \frac{7 e^{- x}}{2}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{7 e^{x}}{2} - \frac{7 e^{- x}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{7 e^{x}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7 e^{- x}}{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{7 e^{x}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{7 e^{- x}}{2})$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{7 e^{x}}{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $\frac{7}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{7 e^{x}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{7}{2} \cdot \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{7 e^{- x}}{2})$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{7}{2} \cdot e^{x} + \frac{d}{d x} (- \frac{7 e^{- x}}{2})$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{7 e^{- x}}{2}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- \frac{7}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{7 e^{- x}}{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{7}{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{7}{2} \cdot e^{x} - \frac{7}{2} \cdot \frac{d}{d x} e^{- x}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$f'' (x) = \frac{7}{2} \cdot e^{x} - \frac{7}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Paso 3.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{7}{2} \cdot e^{x} - \frac{7}{2} \cdot (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$f'' (x) = \frac{7}{2} \cdot e^{x} - \frac{7}{2} \cdot (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Paso 3.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{7}{2} \cdot e^{x} - \frac{7}{2} \cdot (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{7}{2} \cdot e^{x} - \frac{7}{2} \cdot (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Paso 3.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{7}{2} \cdot e^{x} - \frac{7}{2} \cdot (e^{- x} \cdot - 1)$

Paso 3.3.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{7}{2} \cdot e^{x} - \frac{7}{2} \cdot (- 1 \cdot e^{- x})$

Paso 3.3.7

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{7}{2} \cdot e^{x} - \frac{7}{2} \cdot (- e^{- x})$

Paso 3.3.8

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{7}{2} \cdot e^{x} + 1 (\frac{7}{2}) \cdot e^{- x}$

Paso 3.3.9

Multiplica $\frac{7}{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{7}{2} \cdot e^{x} + \frac{7}{2} \cdot e^{- x}$

Paso 3.3.10

Combina $\frac{7}{2}$ y $e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{7}{2} \cdot e^{x} + \frac{7 e^{- x}}{2}$

Paso 3.4

Combina $\frac{7}{2}$ y $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{7 e^{x}}{2} + \frac{7 e^{- x}}{2}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$\frac{7 e^{x}}{2} - \frac{7 e^{- x}}{2} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Diferencia.

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Paso 5.1.1.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{7 e^{x} + 7 e^{- x}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [7 e^{x} + 7 e^{- x}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (7 e^{x} + 7 e^{- x})$

Paso 5.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $7 e^{x} + 7 e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 e^{x}] + \frac{d}{d x} [7 e^{- x}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d x} (7 e^{x}) + \frac{d}{d x} (7 e^{- x}))$

Paso 5.1.1.3

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 e^{x}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (7 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (7 e^{- x}))$

Paso 5.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (7 e^{x} + \frac{d}{d x} (7 e^{- x}))$

Paso 5.1.3

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 e^{- x}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (7 e^{x} + 7 \frac{d}{d x} (e^{- x}))$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 5.1.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (7 e^{x} + 7 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)))$

Paso 5.1.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (7 e^{x} + 7 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)))$

Paso 5.1.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (7 e^{x} + 7 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)))$

Paso 5.1.5

Diferencia.

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Paso 5.1.5.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (7 e^{x} + 7 e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Paso 5.1.5.2

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (7 e^{x} - 7 e^{- x} \frac{d}{d x} x)$

Paso 5.1.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (7 e^{x} - 7 e^{- x} \cdot 1)$

Paso 5.1.5.4

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (7 e^{x} - 7 e^{- x})$

Paso 5.1.6

Simplifica.

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Paso 5.1.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (7 e^{x}) + \frac{1}{2} \cdot (- 7 e^{- x})$

Paso 5.1.6.2

Combina los términos.

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Paso 5.1.6.2.1

Combina $7$ y $\frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{7}{2} \cdot e^{x} + \frac{1}{2} \cdot (- 7 e^{- x})$

Paso 5.1.6.2.2

Combina $\frac{7}{2}$ y $e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{7 e^{x}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- 7 e^{- x})$

Paso 5.1.6.2.3

Combina $- 7$ y $\frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{7 e^{x}}{2} + \frac{- 7}{2} \cdot e^{- x}$

Paso 5.1.6.2.4

Combina $\frac{- 7}{2}$ y $e^{- x}$ .

$f' (x) = \frac{7 e^{x}}{2} + \frac{- 7 e^{- x}}{2}$

Paso 5.1.6.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = \frac{7 e^{x}}{2} - \frac{7 e^{- x}}{2}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{7 e^{x}}{2} - \frac{7 e^{- x}}{2}$ .

$\frac{7 e^{x}}{2} - \frac{7 e^{- x}}{2}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{7 e^{x}}{2} - \frac{7 e^{- x}}{2} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{7 e^{x}}{2} - \frac{7 e^{- x}}{2} = 0$

Paso 6.2

Mueve $- \frac{7 e^{- x}}{2}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma en ambos lados.

$\frac{7 e^{x}}{2} = \frac{7 e^{- x}}{2}$

Paso 6.3

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$7 e^{x} = 7 e^{- x}$

Paso 6.4

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (7 e^{x}) = \ln (7 e^{- x})$

Paso 6.5

Expande el lado izquierdo.

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Paso 6.5.1

Reescribe $\ln (7 e^{x})$ como $\ln (7) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (7) + \ln (e^{x}) = \ln (7 e^{- x})$

Paso 6.5.2

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$\ln (7) + x \ln (e) = \ln (7 e^{- x})$

Paso 6.5.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\ln (7) + x \cdot 1 = \ln (7 e^{- x})$

Paso 6.5.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\ln (7) + x = \ln (7 e^{- x})$

Paso 6.6

Expande el lado derecho.

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Paso 6.6.1

Reescribe $\ln (7 e^{- x})$ como $\ln (7) + \ln (e^{- x})$ .

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (e^{- x})$

Paso 6.6.2

Expande $\ln (e^{- x})$ ; para ello, mueve $- x$ fuera del logaritmo.

$\ln (7) + x = \ln (7) - x \ln (e)$

Paso 6.6.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\ln (7) + x = \ln (7) - x \cdot 1$

Paso 6.6.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\ln (7) + x = \ln (7) - x$

Paso 6.7

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (7) - \ln (7) = - x - x$

Paso 6.8

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{7}{7}) = - x - x$

Paso 6.9

Divide $7$ por $7$ .

$\ln (1) = - x - x$

Paso 6.10

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$0 = - x - x$

Paso 6.11

Resta $x$ de $- x$ .

$0 = - 2 x$

Paso 6.12

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$- 2 x = 0$

Paso 6.13

Divide cada término en $- 2 x = 0$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 6.13.1

Divide cada término en $- 2 x = 0$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Paso 6.13.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.13.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 6.13.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Paso 6.13.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{- 2}$

Paso 6.13.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.13.3.1

Divide $0$ por $- 2$ .

$x = 0$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$\frac{7 e^{0}}{2} + \frac{7 e^{- (0)}}{2}$

Paso 10

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 10.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{7 e^{0} + 7 e^{- (0)}}{2}$

Paso 10.2

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{7 \cdot 1 + 7 e^{- (0)}}{2}$

Paso 10.2.2

Multiplica $7$ por $1$ .

$\frac{7 + 7 e^{- (0)}}{2}$

Paso 10.2.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{7 + 7 e^{0}}{2}$

Paso 10.2.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{7 + 7 \cdot 1}{2}$

Paso 10.2.5

Multiplica $7$ por $1$ .

$\frac{7 + 7}{2}$

Paso 10.3

Simplifica la expresión.

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Paso 10.3.1

Suma $7$ y $7$ .

$\frac{14}{2}$

Paso 10.3.2

Divide $14$ por $2$ .

$7$

Paso 11

$x = 0$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = 0$ es un mínimo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = 0$ .

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Paso 12.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{7 e^{0} + 7 e^{- (0)}}{2}$

Paso 12.2

Simplifica el resultado.

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Paso 12.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 12.2.1.1

Factoriza $7$ de $7 e^{0} + 7 e^{- (0)}$ .

$f (0) = \frac{7 (e^{0} + e^{- (0)})}{2}$

Paso 12.2.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f (0) = \frac{7 (1 + e^{- (0)})}{2}$

Paso 12.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f (0) = \frac{7 (1 + e^{0})}{2}$

Paso 12.2.1.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f (0) = \frac{7 (1 + 1)}{2}$

Paso 12.2.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$f (0) = \frac{7 \cdot 2}{2}$

Paso 12.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 12.2.2.1

Multiplica $7$ por $2$ .

$f (0) = \frac{14}{2}$

Paso 12.2.2.2

Divide $14$ por $2$ .

$f (0) = 7$

Paso 12.2.3

La respuesta final es $7$ .

$y = 7$

Paso 13

Estos son los extremos locales de $f (x) = \frac{7 e^{x} + 7 e^{- x}}{2}$ .

$(0, 7)$ es un mínimo local

Paso 14