Cálculo Ejemplos

$y = \frac{e^{- x} + 1}{e^{x}}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{e^{- x} + 1}{e^{x}})$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ es $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ donde $f (y) = e^{- x} + 1$ y $g (y) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 3.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{x})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Paso 3.2.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d y} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 3.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{- x} + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [e^{- x}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d y} [e^{- x}] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = e^{y}$ y $g (y) = - x$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- x$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- x$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 3.5

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- x') + \frac{d}{d y} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 3.6

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- x') + 0) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 3.7

Suma $e^{- x} (- x')$ y $0$ .

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- x')) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 3.8

Multiplica $e^{x}$ por $e^{- x}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.8.1

Mueve $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} e^{x} (- x') - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 3.8.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{- x + x} (- x') - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 3.8.3

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{e^{0} (- x') - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 3.9

Simplifica $e^{0} (- x')$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d y} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Paso 3.10

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = e^{y}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 3.10.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Paso 3.10.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Paso 3.10.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (e^{x} \frac{d}{d y} [x])}{e^{2 x}}$

Paso 3.11

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{- x' - (e^{- x} + 1) (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Paso 3.12

Simplifica.

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Paso 3.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x' + (- e^{- x} - 1 \cdot 1) (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Paso 3.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x' - e^{- x} (e^{x} x') - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Paso 3.12.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.12.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.12.3.1.1

Multiplica $e^{- x}$ por $e^{x}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.12.3.1.1.1

Mueve $e^{x}$ .

$\frac{- x' - (e^{x} e^{- x}) x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Paso 3.12.3.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- x' - e^{x - x} x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Paso 3.12.3.1.1.3

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{- x' - e^{0} x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Paso 3.12.3.1.2

Simplifica $- e^{0} x'$ .

$\frac{- x' - 1 x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Paso 3.12.3.1.3

Reescribe $- 1 x'$ como $- x'$ .

$\frac{- x' - x' - 1 \cdot 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Paso 3.12.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- x' - x' - 1 (e^{x} x')}{e^{2 x}}$

Paso 3.12.3.1.5

Reescribe $- 1 (e^{x} x')$ como $- (e^{x} x')$ .

$\frac{- x' - x' - e^{x} x'}{e^{2 x}}$

Paso 3.12.3.2

Resta $x'$ de $- x'$ .

$\frac{- 2 x' - e^{x} x'}{e^{2 x}}$

Paso 3.12.4

Reordena los términos.

$\frac{- e^{x} x' - 2 x'}{e^{2 x}}$

Paso 3.12.5

Factoriza $x'$ de $- e^{x} x' - 2 x'$ .

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Paso 3.12.5.1

Factoriza $x'$ de $- e^{x} x'$ .

$\frac{x' (- e^{x}) - 2 x'}{e^{2 x}}$

Paso 3.12.5.2

Factoriza $x'$ de $- 2 x'$ .

$\frac{x' (- e^{x}) + x' \cdot - 2}{e^{2 x}}$

Paso 3.12.5.3

Factoriza $x'$ de $x' (- e^{x}) + x' \cdot - 2$ .

$\frac{x' (- e^{x} - 2)}{e^{2 x}}$

Paso 3.12.6

Factoriza $- 1$ de $- e^{x}$ .

$\frac{x' (- (e^{x}) - 2)}{e^{2 x}}$

Paso 3.12.7

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{x' (- (e^{x}) - 1 (2))}{e^{2 x}}$

Paso 3.12.8

Factoriza $- 1$ de $- (e^{x}) - 1 (2)$ .

$\frac{x' (- (e^{x} + 2))}{e^{2 x}}$

Paso 3.12.9

Reescribe $- (e^{x} + 2)$ como $- 1 (e^{x} + 2)$ .

$\frac{x' (- 1 (e^{x} + 2))}{e^{2 x}}$

Paso 3.12.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}}$

Paso 3.12.11

Reordena los factores en $- \frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}}$ .

$- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = - \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$ .

$- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$

Paso 5.2

Divide cada término en $- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.2.2.1

Divide $\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$ por $1$ .

$\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}} = \frac{1}{- 1}$

Paso 5.2.2.2.2

Reordena los factores en $\frac{(e^{x} + 2) x'}{e^{2 x}}$ .

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} = \frac{1}{- 1}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} = - 1$

Paso 5.3

Multiplica ambos lados por $e^{2 x}$ .

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} e^{2 x} = - e^{2 x}$

Paso 5.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.1

Simplifica $\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} e^{2 x}$ .

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Paso 5.4.1.1

Cancela el factor común de $e^{2 x}$ .

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Paso 5.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{2 x}} e^{2 x} = - e^{2 x}$

Paso 5.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$

Paso 5.4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x' e^{x} + x' \cdot 2 = - e^{2 x}$

Paso 5.4.1.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x'$ .

$x' e^{x} + 2 x' = - e^{2 x}$

Paso 5.5

Resuelve $x'$

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Paso 5.5.1

Factoriza $x'$ de $x' e^{x} + 2 x'$ .

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Paso 5.5.1.1

Factoriza $x'$ de $x' e^{x}$ .

$x' (e^{x}) + 2 x' = - e^{2 x}$

Paso 5.5.1.2

Factoriza $x'$ de $2 x'$ .

$x' (e^{x}) + x' \cdot 2 = - e^{2 x}$

Paso 5.5.1.3

Factoriza $x'$ de $x' (e^{x}) + x' \cdot 2$ .

$x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$

Paso 5.5.2

Divide cada término en $x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$ por $e^{x} + 2$ y simplifica.

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Paso 5.5.2.1

Divide cada término en $x' (e^{x} + 2) = - e^{2 x}$ por $e^{x} + 2$ .

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{x} + 2} = \frac{- e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

Paso 5.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{x} + 2$ .

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Paso 5.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (e^{x} + 2)}{e^{x} + 2} = \frac{- e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

Paso 5.5.2.2.1.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

Paso 5.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 2}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{e^{2 x}}{e^{x} + 2}$