Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos^{3} (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - \frac{d}{d x} \cos^{3} (x)$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 1.1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Paso 1.1.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Paso 1.1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Paso 1.1.3.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

Paso 1.1.3.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Paso 1.1.3.5

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Reordena los términos.

$f' (x) = 3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

Paso 1.1.4.2

Factoriza $3 \sin (x)$ de $3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ .

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Paso 1.1.4.2.1

Factoriza $3 \sin (x)$ de $3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Paso 1.1.4.2.2

Factoriza $3 \sin (x)$ de $- 3 \sin (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$

Paso 1.1.4.2.3

Factoriza $3 \sin (x)$ de $3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x) - 1)$

Paso 1.1.4.3

Reordena $\cos^{2} (x)$ y $- 1$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 + \cos^{2} (x))$

Paso 1.1.4.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 \cdot 1 + \cos^{2} (x))$

Paso 1.1.4.5

Factoriza $- 1$ de $\cos^{2} (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 \cdot 1 - 1 (- \cos^{2} (x)))$

Paso 1.1.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

Paso 1.1.4.7

Reescribe $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ como $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (- (1 - \cos^{2} (x)))$

Paso 1.1.4.8

Aplica la identidad pitagórica.

$f' (x) = 3 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

Paso 1.1.4.9

Multiplica $\sin (x)$ por $\sin^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.4.9.1

Mueve $\sin^{2} (x)$ .

$f' (x) = 3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

Paso 1.1.4.9.2

Multiplica $\sin^{2} (x)$ por $\sin (x)$ .

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Paso 1.1.4.9.2.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

Paso 1.1.4.9.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 3 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1$

Paso 1.1.4.9.3

Suma $2$ y $1$ .

$f' (x) = 3 \sin^{3} (x) \cdot - 1$

Paso 1.1.4.10

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = - 3 \sin^{3} (x)$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 3 \sin^{3} (x)$ .

$- 3 \sin^{3} (x)$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$

Paso 2.2

Divide cada término en $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $\sin^{3} (x)$ por $1$ .

$\sin^{3} (x) = \frac{0}{- 3}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Divide $0$ por $- 3$ .

$\sin^{3} (x) = 0$

Paso 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

Paso 2.4

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 2.4.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 2.4.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$\sin (x) = 0$

Paso 2.5

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 2.6

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.6.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.7

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 2.8

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 2.9

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 2.9.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.9.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.9.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.9.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.10

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.11

Consolida las respuestas.

$x = π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $π n$ .

$π n$

Paso 4

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = - 3 \sin^{3} (x)$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$ .

$(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, π n)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $π n - 1$ en la expresión.

$f' (π n - 1) = - 3 \sin^{3} (π n - 1)$

Paso 5.2

La respuesta final es $- 3 \sin^{3} (π n - 1)$ .

$- 3 \sin^{3} (π n - 1)$

Paso 5.3

Simplifica.

$- 3 \sin^{3} (π n - 1)$

Paso 5.4

En $x = π n - 1$ la derivada es $- 3 \sin^{3} (π n - 1)$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, π n)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, π n)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(π n, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $π n + 1$ en la expresión.

$f' (π n + 1) = - 3 \sin^{3} (π n + 1)$

Paso 6.2

La respuesta final es $- 3 \sin^{3} (π n + 1)$ .

$- 3 \sin^{3} (π n + 1)$

Paso 6.3

Simplifica.

$- 3 \sin^{3} (π n + 1)$

Paso 6.4

En $x = π n + 1$ la derivada es $- 3 \sin^{3} (π n + 1)$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(π n, \infty)$ .

Decrecimiento en $(π n, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Decrecimiento en: $(- \infty, π n), (π n, \infty)$

Paso 8