Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} e^{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Reordena los términos.

$f' (x) = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Paso 1.1.4.2

Reordena los factores en $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

Paso 2.2

Factoriza $x e^{x}$ de $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $x e^{x}$ de $x^{2} e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + 2 x e^{x} = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $x e^{x}$ de $2 x e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + x e^{x} (2) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $x e^{x}$ de $x e^{x} (x) + x e^{x} (2)$ .

$x e^{x} (x + 2) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 2.5.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 2.5.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 2.6

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 2.6.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x e^{x} (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 2$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, - 2$ .

$0, - 2$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 2)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f' (- 3) = {(- 3)}^{2} e^{- 3} + 2 (- 3) \cdot e^{- 3}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 3) = 9 e^{- 3} + 2 (- 3) \cdot e^{- 3}$

Paso 5.2.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 3) = 9 (\frac{1}{e^{3}}) + 2 (- 3) \cdot e^{- 3}$

Paso 5.2.1.3

Combina $9$ y $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} + 2 (- 3) \cdot e^{- 3}$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} - 6 \cdot e^{- 3}$

Paso 5.2.1.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} - 6 \cdot \frac{1}{e^{3}}$

Paso 5.2.1.6

Combina $- 6$ y $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} + \frac{- 6}{e^{3}}$

Paso 5.2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} - \frac{6}{e^{3}}$

Paso 5.2.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- 3) = \frac{9 - 6}{e^{3}}$

Paso 5.2.2.2

Resta $6$ de $9$ .

$f' (- 3) = \frac{3}{e^{3}}$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $\frac{3}{e^{3}}$ .

$\frac{3}{e^{3}}$

Paso 5.3

En $x = - 3$ la derivada es $\frac{3}{e^{3}}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 2)$ .

Incremento en $(- \infty, - 2)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 2, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{2} e^{- 1} + 2 (- 1) \cdot e^{- 1}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = 1 e^{- 1} + 2 (- 1) \cdot e^{- 1}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $e^{- 1}$ por $1$ .

$f' (- 1) = e^{- 1} + 2 (- 1) \cdot e^{- 1}$

Paso 6.2.1.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{e} + 2 (- 1) \cdot e^{- 1}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{e} - 2 \cdot e^{- 1}$

Paso 6.2.1.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{e} - 2 \cdot \frac{1}{e}$

Paso 6.2.1.6

Combina $- 2$ y $\frac{1}{e}$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{e} + \frac{- 2}{e}$

Paso 6.2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{2}{e}$

Paso 6.2.2

Combina fracciones.

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Paso 6.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- 1) = \frac{1 - 2}{e}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.2.2.1

Resta $2$ de $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 1}{e}$

Paso 6.2.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 1) = - \frac{1}{e}$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- \frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e}$

Paso 6.3

En $x = - 1$ la derivada es $- \frac{1}{e}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 2, 0)$ .

Decrecimiento en $(- 2, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = {(1)}^{2} e^{1} + 2 (1) \cdot e^{1}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = 1 e + 2 (1) \cdot e$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $e^{1}$ por $1$ .

$f' (1) = e + 2 (1) \cdot e$

Paso 7.2.1.3

Simplifica.

$f' (1) = e + 2 (1) \cdot e$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (1) = e + 2 e$

Paso 7.2.2

Suma $e$ y $2 e$ .

$f' (1) = 3 e$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $3 e$ .

$3 e$

Paso 7.3

En $x = 1$ la derivada es $3 e$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 2), (0, \infty)$

Decrecimiento en: $(- 2, 0)$

Paso 9