Cálculo Ejemplos

$f (x) = x \ln (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Paso 1.1.3.4

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $1 + \ln (x)$ .

$1 + \ln (x)$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $1 + \ln (x) = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$1 + \ln (x) = 0$

Paso 2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\ln (x) = - 1$

Paso 2.3

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Paso 2.4

Reescribe $\ln (x) = - 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Paso 2.5

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Reescribe la ecuación como $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Paso 2.5.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Establece el argumento en $\ln (x)$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x \leq 0$

Paso 4.2

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{e}) \cup (\frac{1}{e}, \infty)$

Paso 6

Excluye los intervalos que no están en el dominio.

$(0, \frac{1}{e})$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \frac{1}{e})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.18393972$ en la expresión.

$f' (0.18393972) = 1 + \ln (0.18393972)$

Paso 7.2

La respuesta final es $1 + \ln (0.18393972)$ .

$1 + \ln (0.18393972)$

Paso 7.3

Simplifica.

$- 0.69314715$

Paso 7.4

En $x = 0.18393972$ la derivada es $- 0.69314715$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, \frac{1}{e})$ .

Decrecimiento en $(0, \frac{1}{e})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Excluye los intervalos que no están en el dominio.

$(0, \frac{1}{e}), (\frac{1}{e}, \infty)$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{1}{e}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.36787945$ en la expresión.

$f' (1.36787945) = 1 + \ln (1.36787945)$

Paso 9.2

La respuesta final es $1 + \ln (1.36787945)$ .

$1 + \ln (1.36787945)$

Paso 9.3

Simplifica.

$1.31326169$

Paso 9.4

En $x = 1.36787945$ la derivada es $1.31326169$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(\frac{1}{e}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{1}{e}, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 10

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(\frac{1}{e}, \infty)$

Decrecimiento en: $(0, \frac{1}{e})$

Paso 11