Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{5} - 5 x^{4} - x^{3} + 28 x^{2} - 2 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} - 5 x^{4} - x^{3} + 28 x^{2} - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $4$ por $- 5$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (28 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [28 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.4.1

Como $28$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $28 x^{2}$ con respecto a $x$ es $28 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} - 3 x^{2} + 28 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} - 3 x^{2} + 28 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $2$ por $28$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} - 3 x^{2} + 56 x + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Paso 1.1.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 1.1.5.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} - 3 x^{2} + 56 x - 2 \frac{d}{d x} x$

Paso 1.1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} - 3 x^{2} + 56 x - 2 \cdot 1$

Paso 1.1.5.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} - 3 x^{2} + 56 x - 2$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $5 x^{4} - 20 x^{3} - 3 x^{2} + 56 x - 2$ .

$5 x^{4} - 20 x^{3} - 3 x^{2} + 56 x - 2$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $5 x^{4} - 20 x^{3} - 3 x^{2} + 56 x - 2 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$5 x^{4} - 20 x^{3} - 3 x^{2} + 56 x - 2 = 0$

Paso 2.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x \approx - 1.49954522, 0.03579918, 2.62273516, 2.84101087$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $- 1.49954522, 0.03579918, 2.62273516, 2.84101087$ .

$- 1.49954522, 0.03579918, 2.62273516, 2.84101087$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 1.49954522) \cup (- 1.49954522, 0.03579918) \cup (0.03579918, 2.62273516) \cup (2.62273516, 2.84101087) \cup (2.84101087, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1.49954522)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2.4995452$ en la expresión.

$f' (- 2.4995452) = 5 {(- 2.4995452)}^{4} - 20 {(- 2.4995452)}^{3} - 3 {(- 2.4995452)}^{2} + 56 (- 2.4995452) - 2$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 2.4995452$ a la potencia de $4$ .

$f' (- 2.4995452) = 5 \cdot 39.03408275 - 20 {(- 2.4995452)}^{3} - 3 {(- 2.4995452)}^{2} + 56 (- 2.4995452) - 2$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $5$ por $39.03408275$ .

$f' (- 2.4995452) = 195.17041377 - 20 {(- 2.4995452)}^{3} - 3 {(- 2.4995452)}^{2} + 56 (- 2.4995452) - 2$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 2.4995452$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 2.4995452) = 195.17041377 - 20 \cdot - 15.61647405 - 3 {(- 2.4995452)}^{2} + 56 (- 2.4995452) - 2$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $- 20$ por $- 15.61647405$ .

$f' (- 2.4995452) = 195.17041377 + 312.32948102 - 3 {(- 2.4995452)}^{2} + 56 (- 2.4995452) - 2$

Paso 5.2.1.5

Eleva $- 2.4995452$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2.4995452) = 195.17041377 + 312.32948102 - 3 \cdot 6.2477262 + 56 (- 2.4995452) - 2$

Paso 5.2.1.6

Multiplica $- 3$ por $6.2477262$ .

$f' (- 2.4995452) = 195.17041377 + 312.32948102 - 18.74317862 + 56 (- 2.4995452) - 2$

Paso 5.2.1.7

Multiplica $56$ por $- 2.4995452$ .

$f' (- 2.4995452) = 195.17041377 + 312.32948102 - 18.74317862 - 139.9745312 - 2$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.2.1

Suma $195.17041377$ y $312.32948102$ .

$f' (- 2.4995452) = 507.4998948 - 18.74317862 - 139.9745312 - 2$

Paso 5.2.2.2

Resta $18.74317862$ de $507.4998948$ .

$f' (- 2.4995452) = 488.75671618 - 139.9745312 - 2$

Paso 5.2.2.3

Resta $139.9745312$ de $488.75671618$ .

$f' (- 2.4995452) = 348.78218498 - 2$

Paso 5.2.2.4

Resta $2$ de $348.78218498$ .

$f' (- 2.4995452) = 346.78218498$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $346.78218498$ .

$346.78218498$

Paso 5.3

En $x = - 2.4995452$ la derivada es $346.78218498$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 1.49954522)$ .

Incremento en $(- \infty, - 1.49954522)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 1.4995452, 0.03579918)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.73187301$ en la expresión.

$f' (- 0.73187301) = 5 {(- 0.73187301)}^{4} - 20 {(- 0.73187301)}^{3} - 3 {(- 0.73187301)}^{2} + 56 (- 0.73187301) - 2$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 0.73187301$ a la potencia de $4$ .

$f' (- 0.73187301) = 5 \cdot 0.28690817 - 20 {(- 0.73187301)}^{3} - 3 {(- 0.73187301)}^{2} + 56 (- 0.73187301) - 2$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $5$ por $0.28690817$ .

$f' (- 0.73187301) = 1.43454088 - 20 {(- 0.73187301)}^{3} - 3 {(- 0.73187301)}^{2} + 56 (- 0.73187301) - 2$

Paso 6.2.1.3

Eleva $- 0.73187301$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 0.73187301) = 1.43454088 - 20 \cdot - 0.39201907 - 3 {(- 0.73187301)}^{2} + 56 (- 0.73187301) - 2$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 20$ por $- 0.39201907$ .

$f' (- 0.73187301) = 1.43454088 + 7.84038141 - 3 {(- 0.73187301)}^{2} + 56 (- 0.73187301) - 2$

Paso 6.2.1.5

Eleva $- 0.73187301$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 0.73187301) = 1.43454088 + 7.84038141 - 3 \cdot 0.5356381 + 56 (- 0.73187301) - 2$

Paso 6.2.1.6

Multiplica $- 3$ por $0.5356381$ .

$f' (- 0.73187301) = 1.43454088 + 7.84038141 - 1.6069143 + 56 (- 0.73187301) - 2$

Paso 6.2.1.7

Multiplica $56$ por $- 0.73187301$ .

$f' (- 0.73187301) = 1.43454088 + 7.84038141 - 1.6069143 - 40.98488856 - 2$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 6.2.2.1

Suma $1.43454088$ y $7.84038141$ .

$f' (- 0.73187301) = 9.27492229 - 1.6069143 - 40.98488856 - 2$

Paso 6.2.2.2

Resta $1.6069143$ de $9.27492229$ .

$f' (- 0.73187301) = 7.66800798 - 40.98488856 - 2$

Paso 6.2.2.3

Resta $40.98488856$ de $7.66800798$ .

$f' (- 0.73187301) = - 33.31688057 - 2$

Paso 6.2.2.4

Resta $2$ de $- 33.31688057$ .

$f' (- 0.73187301) = - 35.31688057$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 35.31688057$ .

$- 35.31688057$

Paso 6.3

En $x = - 0.73187301$ la derivada es $- 35.31688057$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 1.4995452, 0.03579918)$ .

Decrecimiento en $(- 1.49954522, 0.03579918)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0.03579918, 2.62273516)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.32926724$ en la expresión.

$f' (1.32926724) = 5 {(1.32926724)}^{4} - 20 {(1.32926724)}^{3} - 3 {(1.32926724)}^{2} + 56 (1.32926724) - 2$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva $1.32926724$ a la potencia de $4$ .

$f' (1.32926724) = 5 \cdot 3.12211723 - 20 {(1.32926724)}^{3} - 3 {(1.32926724)}^{2} + 56 (1.32926724) - 2$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $5$ por $3.12211723$ .

$f' (1.32926724) = 15.61058616 - 20 {(1.32926724)}^{3} - 3 {(1.32926724)}^{2} + 56 (1.32926724) - 2$

Paso 7.2.1.3

Eleva $1.32926724$ a la potencia de $3$ .

$f' (1.32926724) = 15.61058616 - 20 \cdot 2.3487506 - 3 {(1.32926724)}^{2} + 56 (1.32926724) - 2$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $- 20$ por $2.3487506$ .

$f' (1.32926724) = 15.61058616 - 46.97501208 - 3 {(1.32926724)}^{2} + 56 (1.32926724) - 2$

Paso 7.2.1.5

Eleva $1.32926724$ a la potencia de $2$ .

$f' (1.32926724) = 15.61058616 - 46.97501208 - 3 \cdot 1.76695139 + 56 (1.32926724) - 2$

Paso 7.2.1.6

Multiplica $- 3$ por $1.76695139$ .

$f' (1.32926724) = 15.61058616 - 46.97501208 - 5.30085418 + 56 (1.32926724) - 2$

Paso 7.2.1.7

Multiplica $56$ por $1.32926724$ .

$f' (1.32926724) = 15.61058616 - 46.97501208 - 5.30085418 + 74.43896544 - 2$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Resta $46.97501208$ de $15.61058616$ .

$f' (1.32926724) = - 31.36442592 - 5.30085418 + 74.43896544 - 2$

Paso 7.2.2.2

Resta $5.30085418$ de $- 31.36442592$ .

$f' (1.32926724) = - 36.6652801 + 74.43896544 - 2$

Paso 7.2.2.3

Suma $- 36.6652801$ y $74.43896544$ .

$f' (1.32926724) = 37.77368533 - 2$

Paso 7.2.2.4

Resta $2$ de $37.77368533$ .

$f' (1.32926724) = 35.77368533$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $35.77368533$ .

$35.77368533$

Paso 7.3

En $x = 1.32926724$ la derivada es $35.77368533$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0.03579918, 2.62273516)$ .

Incremento en $(0.03579918, 2.62273516)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(2.6227353, 2.84101087)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.73187305$ en la expresión.

$f' (2.73187305) = 5 {(2.73187305)}^{4} - 20 {(2.73187305)}^{3} - 3 {(2.73187305)}^{2} + 56 (2.73187305) - 2$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Eleva $2.73187305$ a la potencia de $4$ .

$f' (2.73187305) = 5 \cdot 55.69831479 - 20 {(2.73187305)}^{3} - 3 {(2.73187305)}^{2} + 56 (2.73187305) - 2$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $5$ por $55.69831479$ .

$f' (2.73187305) = 278.49157395 - 20 {(2.73187305)}^{3} - 3 {(2.73187305)}^{2} + 56 (2.73187305) - 2$

Paso 8.2.1.3

Eleva $2.73187305$ a la potencia de $3$ .

$f' (2.73187305) = 278.49157395 - 20 \cdot 20.3883247 - 3 {(2.73187305)}^{2} + 56 (2.73187305) - 2$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $- 20$ por $20.3883247$ .

$f' (2.73187305) = 278.49157395 - 407.76649405 - 3 {(2.73187305)}^{2} + 56 (2.73187305) - 2$

Paso 8.2.1.5

Eleva $2.73187305$ a la potencia de $2$ .

$f' (2.73187305) = 278.49157395 - 407.76649405 - 3 \cdot 7.46313036 + 56 (2.73187305) - 2$

Paso 8.2.1.6

Multiplica $- 3$ por $7.46313036$ .

$f' (2.73187305) = 278.49157395 - 407.76649405 - 22.38939108 + 56 (2.73187305) - 2$

Paso 8.2.1.7

Multiplica $56$ por $2.73187305$ .

$f' (2.73187305) = 278.49157395 - 407.76649405 - 22.38939108 + 152.9848908 - 2$

Paso 8.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 8.2.2.1

Resta $407.76649405$ de $278.49157395$ .

$f' (2.73187305) = - 129.2749201 - 22.38939108 + 152.9848908 - 2$

Paso 8.2.2.2

Resta $22.38939108$ de $- 129.2749201$ .

$f' (2.73187305) = - 151.66431118 + 152.9848908 - 2$

Paso 8.2.2.3

Suma $- 151.66431118$ y $152.9848908$ .

$f' (2.73187305) = 1.32057961 - 2$

Paso 8.2.2.4

Resta $2$ de $1.32057961$ .

$f' (2.73187305) = - 0.67942038$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $- 0.67942038$ .

$- 0.67942038$

Paso 8.3

En $x = 2.73187305$ la derivada es $- 0.67942038$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(2.6227353, 2.84101087)$ .

Decrecimiento en $(2.62273516, 2.84101087)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(2.84101087, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $3.8410108$ en la expresión.

$f' (3.8410108) = 5 {(3.8410108)}^{4} - 20 {(3.8410108)}^{3} - 3 {(3.8410108)}^{2} + 56 (3.8410108) - 2$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1.1

Eleva $3.8410108$ a la potencia de $4$ .

$f' (3.8410108) = 5 \cdot 217.6617483 - 20 {(3.8410108)}^{3} - 3 {(3.8410108)}^{2} + 56 (3.8410108) - 2$

Paso 9.2.1.2

Multiplica $5$ por $217.6617483$ .

$f' (3.8410108) = 1088.30874152 - 20 {(3.8410108)}^{3} - 3 {(3.8410108)}^{2} + 56 (3.8410108) - 2$

Paso 9.2.1.3

Eleva $3.8410108$ a la potencia de $3$ .

$f' (3.8410108) = 1088.30874152 - 20 \cdot 56.66783032 - 3 {(3.8410108)}^{2} + 56 (3.8410108) - 2$

Paso 9.2.1.4

Multiplica $- 20$ por $56.66783032$ .

$f' (3.8410108) = 1088.30874152 - 1133.35660657 - 3 {(3.8410108)}^{2} + 56 (3.8410108) - 2$

Paso 9.2.1.5

Eleva $3.8410108$ a la potencia de $2$ .

$f' (3.8410108) = 1088.30874152 - 1133.35660657 - 3 \cdot 14.75336396 + 56 (3.8410108) - 2$

Paso 9.2.1.6

Multiplica $- 3$ por $14.75336396$ .

$f' (3.8410108) = 1088.30874152 - 1133.35660657 - 44.26009189 + 56 (3.8410108) - 2$

Paso 9.2.1.7

Multiplica $56$ por $3.8410108$ .

$f' (3.8410108) = 1088.30874152 - 1133.35660657 - 44.26009189 + 215.0966048 - 2$

Paso 9.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 9.2.2.1

Resta $1133.35660657$ de $1088.30874152$ .

$f' (3.8410108) = - 45.04786504 - 44.26009189 + 215.0966048 - 2$

Paso 9.2.2.2

Resta $44.26009189$ de $- 45.04786504$ .

$f' (3.8410108) = - 89.30795694 + 215.0966048 - 2$

Paso 9.2.2.3

Suma $- 89.30795694$ y $215.0966048$ .

$f' (3.8410108) = 125.78864785 - 2$

Paso 9.2.2.4

Resta $2$ de $125.78864785$ .

$f' (3.8410108) = 123.78864785$

Paso 9.2.3

La respuesta final es $123.78864785$ .

$123.78864785$

Paso 9.3

En $x = 3.8410108$ la derivada es $123.78864785$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(2.84101087, \infty)$ .

Incremento en $(2.84101087, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 10

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 1.49954522), (0.03579918, 2.62273516), (2.84101087, \infty)$

Decrecimiento en: $(- 1.49954522, 0.03579918), (2.62273516, 2.84101087)$

Paso 11