Cálculo Ejemplos

$c (t) = 3 t e^{- \frac{1}{30} t}$

Paso 1

Como $t$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$3 t e^{- \frac{1}{30} t} = c t$

Paso 2

Simplifica $3 t e^{- \frac{1}{30} t}$ .

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Paso 2.1

Reescribe.

$0 + 0 + 3 t e^{- \frac{1}{30} t} = c t$

Paso 2.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$3 t e^{- \frac{1}{30} t} = c t$

Paso 2.3

Combina $t$ y $\frac{1}{30}$ .

$3 t e^{- \frac{t}{30}} = c t$

Paso 3

Resta $c t$ de ambos lados de la ecuación.

$3 t e^{- \frac{t}{30}} - c t = 0$

Paso 4

Factoriza $t$ de $3 t e^{- \frac{t}{30}} - c t$ .

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Paso 4.1

Factoriza $t$ de $3 t e^{- \frac{t}{30}}$ .

$t (3 e^{- \frac{t}{30}}) - c t = 0$

Paso 4.2

Factoriza $t$ de $- c t$ .

$t (3 e^{- \frac{t}{30}}) + t (- c) = 0$

Paso 4.3

Factoriza $t$ de $t (3 e^{- \frac{t}{30}}) + t (- c)$ .

$t (3 e^{- \frac{t}{30}} - c) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$t = 0$

$3 e^{- \frac{t}{30}} - c = 0$

Paso 6

Establece $t$ igual a $0$ .

$t = 0$

Paso 7

Establece $3 e^{- \frac{t}{30}} - c$ igual a $0$ y resuelve $t$ .

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Paso 7.1

Establece $3 e^{- \frac{t}{30}} - c$ igual a $0$ .

$3 e^{- \frac{t}{30}} - c = 0$

Paso 7.2

Resuelve $3 e^{- \frac{t}{30}} - c = 0$ en $t$ .

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Paso 7.2.1

Suma $c$ a ambos lados de la ecuación.

$3 e^{- \frac{t}{30}} = c$

Paso 7.2.2

Divide cada término en $3 e^{- \frac{t}{30}} = c$ por $3$ y simplifica.

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Paso 7.2.2.1

Divide cada término en $3 e^{- \frac{t}{30}} = c$ por $3$ .

$\frac{3 e^{- \frac{t}{30}}}{3} = \frac{c}{3}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 e^{- \frac{t}{30}}}{3} = \frac{c}{3}$

Paso 7.2.2.2.1.2

Divide $e^{- \frac{t}{30}}$ por $1$ .

$e^{- \frac{t}{30}} = \frac{c}{3}$

Paso 7.2.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- \frac{t}{30}}) = \ln (\frac{c}{3})$

Paso 7.2.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 7.2.4.1

Expande $\ln (e^{- \frac{t}{30}})$ ; para ello, mueve $- \frac{t}{30}$ fuera del logaritmo.

$- \frac{t}{30} \ln (e) = \ln (\frac{c}{3})$

Paso 7.2.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$- \frac{t}{30} \cdot 1 = \ln (\frac{c}{3})$

Paso 7.2.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{t}{30} = \ln (\frac{c}{3})$

Paso 7.2.5

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 30$ .

$- 30 (- \frac{t}{30}) = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

Paso 7.2.6

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.6.1

Simplifica $- 30 (- \frac{t}{30})$ .

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Paso 7.2.6.1.1

Cancela el factor común de $30$ .

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Paso 7.2.6.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{t}{30}$ al numerador.

$- 30 \frac{- t}{30} = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

Paso 7.2.6.1.1.2

Factoriza $30$ de $- 30$ .

$30 (- 1) \frac{- t}{30} = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

Paso 7.2.6.1.1.3

Cancela el factor común.

$30 \cdot - 1 \frac{- t}{30} = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

Paso 7.2.6.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- - t = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

Paso 7.2.6.1.2

Multiplica.

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Paso 7.2.6.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 t = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

Paso 7.2.6.1.2.2

Multiplica $t$ por $1$ .

$t = - 30 \ln (\frac{c}{3})$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $t (3 e^{- \frac{t}{30}} - c) = 0$ verdadera.

$t = 0$

$t = - 30 \ln (\frac{c}{3})$