Cálculo Ejemplos

$f (x) = x \ln (x)$

Paso 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 1.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.1.1.3.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.3.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Paso 1.1.1.3.4

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Paso 1.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1.2.1

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.1.2.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{1}{x}$

Paso 1.1.2.3

Suma $0$ y $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x}$

Paso 1.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 1.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{1}{x} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{1}{x} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 = 0$

Paso 1.2.3

Como $1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 2

Obtén el dominio de $f (x) = x \ln (x)$ .

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Paso 2.1

Establece el argumento en $\ln (x)$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x > 0$

Paso 2.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Notación de intervalo:

$(0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > 0}$

Paso 3

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(0, \infty)$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f'' (2) = \frac{1}{2}$

Paso 4.2

La respuesta final es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 4.3

La gráfica es convexa en el intervalo $(0, \infty)$ porque $f'' (2)$ es positiva.

Convexo en $(0, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 5