Cálculo Ejemplos

$\ln (x^{4} + 1)$

Paso 1

Escribe $\ln (x^{4} + 1)$ como una función.

$f (x) = \ln (x^{4} + 1)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{4} + 1$ .

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Paso 2.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{4} + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)$

Paso 2.1.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)$

Paso 2.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{4} + 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 1} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 1} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 1} \cdot (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 2.1.2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 1} \cdot (4 x^{3} + 0)$

Paso 2.1.2.4

Combina fracciones.

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Paso 2.1.2.4.1

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 1} \cdot (4 x^{3})$

Paso 2.1.2.4.2

Combina $4$ y $\frac{1}{x^{4} + 1}$ .

$f' (x) = \frac{4}{x^{4} + 1} \cdot x^{3}$

Paso 2.1.2.4.3

Combina $\frac{4}{x^{4} + 1}$ y $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{x^{4} + 1})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x^{4} + 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 2.2.3

Diferencia.

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Paso 2.2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 1) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 2.2.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{4} + 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 \cdot ((x^{4} + 1) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 2.2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 2.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 2.2.3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 2.2.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.3.6.1

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 2.2.3.6.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 2.2.4

Multiplica $x^{3}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.4.1

Mueve $x^{3}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 2.2.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 2.2.4.3

Suma $3$ y $3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Paso 2.2.5

Combina $4$ y $\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.6

Simplifica.

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Paso 2.2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 1) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot (1 x^{2}) - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot (1 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.6.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.6.4.1.1

Multiplica $x^{4}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.6.4.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot (1 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.6.4.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot (1 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.6.4.1.1.3

Suma $2$ y $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot (1 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.6.4.1.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot (1 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.6.4.1.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (3 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.6.4.1.4

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 12 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.6.4.1.5

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 12 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.6.4.2

Resta $16 x^{6}$ de $12 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 12 x^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.6.5

Factoriza $4 x^{2}$ de $- 4 x^{6} + 12 x^{2}$ .

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Paso 2.2.6.5.1

Factoriza $4 x^{2}$ de $- 4 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- x^{4}) + 12 x^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.6.5.2

Factoriza $4 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- x^{4}) + 4 x^{2} (3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.6.5.3

Factoriza $4 x^{2}$ de $4 x^{2} (- x^{4}) + 4 x^{2} (3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.6.6

Factoriza $- 1$ de $- x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- (x^{4}) + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.6.7

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- (x^{4}) - 1 \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.6.8

Factoriza $- 1$ de $- (x^{4}) - 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.6.9

Reescribe $- (x^{4} - 3)$ como $- 1 (x^{4} - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- 1 (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.2.6.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{(4 x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{(4 x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{(4 x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{(4 x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{(4 x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$4 x^{2} (x^{4} - 3) = 0$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{4} - 3 = 0$

Paso 3.3.2

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.2.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 3.3.2.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 3.3.2.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 3.3.2.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 3.3.2.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 3.3.2.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 3.3.3

Establece $x^{4} - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.3.1

Establece $x^{4} - 3$ igual a $0$ .

$x^{4} - 3 = 0$

Paso 3.3.3.2

Resuelve $x^{4} - 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.3.3.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{4} = 3$

Paso 3.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{3}$

Paso 3.3.3.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.3.3.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt[4]{3}$

Paso 3.3.3.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt[4]{3}$

Paso 3.3.3.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt[4]{3}, - \sqrt[4]{3}$

Paso 3.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x^{2} (x^{4} - 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, \sqrt[4]{3}, - \sqrt[4]{3}$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ en $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \ln ({(0)}^{4} + 1)$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \ln (0 + 1)$

Paso 4.1.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$f (0) = \ln (1)$

Paso 4.1.2.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 4.1.2.4

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 4.3

Sustituye $\sqrt[4]{3}$ en $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\sqrt[4]{3}$ en la expresión.

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln ({(\sqrt[4]{3})}^{4} + 1)$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Reescribe ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ como $3$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{3}$ como $3^{\frac{1}{4}}$ .

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{4} + 1)$

Paso 4.3.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln (3^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 1)$

Paso 4.3.2.1.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $4$ .

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln (3^{\frac{4}{4}} + 1)$

Paso 4.3.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.3.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln (3^{\frac{4}{4}} + 1)$

Paso 4.3.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln (3 + 1)$

Paso 4.3.2.1.5

Evalúa el exponente.

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln (3 + 1)$

Paso 4.3.2.2

Suma $3$ y $1$ .

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln (4)$

Paso 4.3.2.3

La respuesta final es $\ln (4)$ .

$\ln (4)$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\sqrt[4]{3}$ en $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ es $(\sqrt[4]{3}, \ln (4))$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\sqrt[4]{3}, \ln (4))$

Paso 4.5

Sustituye $- \sqrt[4]{3}$ en $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \sqrt[4]{3}$ en la expresión.

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln ({(- \sqrt[4]{3})}^{4} + 1)$

Paso 4.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt[4]{3}$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln ({(- 1)}^{4} {\sqrt[4]{3}}^{4} + 1)$

Paso 4.5.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (1 {\sqrt[4]{3}}^{4} + 1)$

Paso 4.5.2.1.3

Multiplica ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ por $1$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln ({\sqrt[4]{3}}^{4} + 1)$

Paso 4.5.2.1.4

Reescribe ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ como $3$ .

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Paso 4.5.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{3}$ como $3^{\frac{1}{4}}$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{4} + 1)$

Paso 4.5.2.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (3^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 1)$

Paso 4.5.2.1.4.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $4$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (3^{\frac{4}{4}} + 1)$

Paso 4.5.2.1.4.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.5.2.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (3^{\frac{4}{4}} + 1)$

Paso 4.5.2.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (3 + 1)$

Paso 4.5.2.1.4.5

Evalúa el exponente.

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (3 + 1)$

Paso 4.5.2.2

Suma $3$ y $1$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (4)$

Paso 4.5.2.3

La respuesta final es $\ln (4)$ .

$\ln (4)$

Paso 4.6

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- \sqrt[4]{3}$ en $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ es $(- \sqrt[4]{3}, \ln (4))$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- \sqrt[4]{3}, \ln (4))$

Paso 4.7

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (\sqrt[4]{3}, \ln (4)), (- \sqrt[4]{3}, \ln (4))$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - \sqrt[4]{3}) \cup (- \sqrt[4]{3}, 0) \cup (0, \sqrt[4]{3}) \cup (\sqrt[4]{3}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \sqrt[4]{3})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.41607401$ en la expresión.

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{(4 {(- 1.41607401)}^{2}) ({(- 1.41607401)}^{4} - 3)}{{({(- 1.41607401)}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva $- 1.41607401$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{4 {(- 1.41607401)}^{2} (4.02109016 - 3)}{{({(- 1.41607401)}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Resta $3$ de $4.02109016$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{4 {(- 1.41607401)}^{2} \cdot 1.02109016}{{({(- 1.41607401)}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.1.3

Combina exponentes.

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Paso 6.2.1.3.1

Multiplica $1.02109016$ por $4$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{4.08436066 {(- 1.41607401)}^{2}}{{({(- 1.41607401)}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.1.3.2

Multiplica $4.08436066$ por ${(- 1.41607401)}^{2}$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{8.19022798}{{({(- 1.41607401)}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Eleva $- 1.41607401$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{8.19022798}{{(4.02109016 + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $4.02109016$ y $1$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{8.19022798}{{5.02109016}^{2}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $5.02109016$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{8.19022798}{25.21134646}$

Paso 6.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.1

Divide $8.19022798$ por $25.21134646$ .

$f'' (- 1.41607401) = - 1 \cdot 0.32486277$

Paso 6.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $0.32486277$ .

$f'' (- 1.41607401) = - 0.32486277$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $- 0.32486277$ .

$- 0.32486277$

Paso 6.3

En $- 1.41607401$ , la segunda derivada es $- 0.32486277$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - \sqrt[4]{3})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - \sqrt[4]{3})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- \sqrt[4]{3}, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.658037$ en la expresión.

$f'' (- 0.658037) = - \frac{(4 {(- 0.658037)}^{2}) ({(- 0.658037)}^{4} - 3)}{{({(- 0.658037)}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva $- 0.658037$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{4 {(- 0.658037)}^{2} (0.1875 - 3)}{{({(- 0.658037)}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Resta $3$ de $0.1875$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{4 {(- 0.658037)}^{2} \cdot - 2.8125}{{({(- 0.658037)}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.1.3

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.3.1

Multiplica $- 2.8125$ por $4$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{- 11.25 {(- 0.658037)}^{2}}{{({(- 0.658037)}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.1.3.2

Multiplica $- 11.25$ por ${(- 0.658037)}^{2}$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{{({(- 0.658037)}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Eleva $- 0.658037$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{{(0.1875 + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Suma $0.1875$ y $1$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{{1.1875}^{2}}$

Paso 7.2.2.3

Eleva $1.1875$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{1.41015625}$

Paso 7.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1

Divide $- 4.87139289$ por $1.41015625$ .

$f'' (- 0.658037) = 3.45450576$

Paso 7.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 3.45450576$ .

$f'' (- 0.658037) = 3.45450576$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $3.45450576$ .

$3.45450576$

Paso 7.3

En $- 0.658037$ , la segunda derivada es $3.45450576$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \sqrt[4]{3}, 0)$ .

Incremento en $(- \sqrt[4]{3}, 0)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, \sqrt[4]{3})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.658037$ en la expresión.

$f'' (0.658037) = - \frac{(4 {(0.658037)}^{2}) ({(0.658037)}^{4} - 3)}{{({(0.658037)}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Eleva $0.658037$ a la potencia de $4$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{4 \cdot ({0.658037}^{2} (0.1875 - 3))}{{({0.658037}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 8.2.1.2

Resta $3$ de $0.1875$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{4 \cdot {0.658037}^{2} \cdot - 2.8125}{{({0.658037}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 8.2.1.3

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.3.1

Multiplica $- 2.8125$ por $4$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{- 11.25 \cdot {0.658037}^{2}}{{({0.658037}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 8.2.1.3.2

Multiplica $- 11.25$ por ${0.658037}^{2}$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{{({0.658037}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Eleva $0.658037$ a la potencia de $4$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{{(0.1875 + 1)}^{2}}$

Paso 8.2.2.2

Suma $0.1875$ y $1$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{{1.1875}^{2}}$

Paso 8.2.2.3

Eleva $1.1875$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{1.41015625}$

Paso 8.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.3.1

Divide $- 4.87139289$ por $1.41015625$ .

$f'' (0.658037) = 3.45450576$

Paso 8.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 3.45450576$ .

$f'' (0.658037) = 3.45450576$

Paso 8.2.4

La respuesta final es $3.45450576$ .

$3.45450576$

Paso 8.3

En $0.658037$ , la segunda derivada es $3.45450576$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, \sqrt[4]{3})$ .

Incremento en $(0, \sqrt[4]{3})$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(\sqrt[4]{3}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.41607401$ en la expresión.

$f'' (1.41607401) = - \frac{(4 {(1.41607401)}^{2}) ({(1.41607401)}^{4} - 3)}{{({(1.41607401)}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1.1

Eleva $1.41607401$ a la potencia de $4$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{4 \cdot ({1.41607401}^{2} (4.02109016 - 3))}{{({1.41607401}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 9.2.1.2

Resta $3$ de $4.02109016$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{4 \cdot {1.41607401}^{2} \cdot 1.02109016}{{({1.41607401}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 9.2.1.3

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1.3.1

Multiplica $1.02109016$ por $4$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{4.08436066 \cdot {1.41607401}^{2}}{{({1.41607401}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 9.2.1.3.2

Multiplica $4.08436066$ por ${1.41607401}^{2}$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{8.19022798}{{({1.41607401}^{4} + 1)}^{2}}$

Paso 9.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.1

Eleva $1.41607401$ a la potencia de $4$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{8.19022798}{{(4.02109016 + 1)}^{2}}$

Paso 9.2.2.2

Suma $4.02109016$ y $1$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{8.19022798}{{5.02109016}^{2}}$

Paso 9.2.2.3

Eleva $5.02109016$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{8.19022798}{25.21134646}$

Paso 9.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.3.1

Divide $8.19022798$ por $25.21134646$ .

$f'' (1.41607401) = - 1 \cdot 0.32486277$

Paso 9.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $0.32486277$ .

$f'' (1.41607401) = - 0.32486277$

Paso 9.2.4

La respuesta final es $- 0.32486277$ .

$- 0.32486277$

Paso 9.3

En $1.41607401$ , la segunda derivada es $- 0.32486277$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(\sqrt[4]{3}, \infty)$ .

Decrecimiento en $(\sqrt[4]{3}, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 10

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt[4]{3}, \ln (4)), (\sqrt[4]{3}, \ln (4))$ .

$(- \sqrt[4]{3}, \ln (4)), (\sqrt[4]{3}, \ln (4))$

Paso 11