Cálculo Ejemplos

$x^{\frac{2}{3}} e^{x}$

Paso 1

Escribe $x^{\frac{2}{3}} e^{x}$ como una función.

$f (x) = x^{\frac{2}{3}} e^{x}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Paso 2.1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 2.1.5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 2.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 2.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Paso 2.1.7.2

Resta $3$ de $2$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Paso 2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Paso 2.1.9

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + e^{x} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 2.1.10

Combina $e^{x}$ y $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{e^{x} (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Paso 2.1.11

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.11.1

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{e^{x} \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.1.11.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{x}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 \cdot e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.1.11.3

Reordena los términos.

$f' (x) = e^{x} x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 2.2.2.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 2.2.2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 2.2.2.5

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 2.2.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 2.2.2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.2.7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 2.2.2.7.2

Resta $3$ de $2$ .

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 2.2.2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{x} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 2.2.2.9

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$e^{x} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 2.2.2.10

Combina $e^{x}$ y $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{e^{x} (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 2.2.2.11

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e^{x} \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 2.2.2.12

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Paso 2.2.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Paso 2.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Paso 2.2.3.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Paso 2.2.3.6

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Paso 2.2.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Paso 2.2.3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.3.8.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Paso 2.2.3.8.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Paso 2.2.3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Paso 2.2.3.10

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - e^{x} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Paso 2.2.3.11

Combina $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ y $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{x^{- \frac{2}{3}} e^{x}}{3}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Paso 2.2.3.12

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Paso 2.2.3.13

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.3.13.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Paso 2.2.3.13.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $2$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.3.14

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 (x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4

Simplifica.

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Paso 2.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 (x^{\frac{1}{3}} e^{x}) + 2 (- \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.2.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - 2 \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} + \frac{- 2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.2.4

Para escribir $\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.2.5

Escribe cada expresión con un denominador común de $3 x^{\frac{2}{3}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.2.4.2.5.1

Multiplica $\frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ por $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x} x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.2.5.2

Multiplica $x^{\frac{1}{3}}$ por $x^{\frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.4.2.5.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x} x^{\frac{1}{3}}}{3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.2.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x} x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.2.5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x} x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1 + 1}{3}}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.2.5.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x} x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 e^{x} x^{\frac{1}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.2.7

Suma $2 e^{x} x^{\frac{1}{3}}$ y $2 x^{\frac{1}{3}} e^{x}$ .

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Paso 2.2.4.2.7.1

Mueve $e^{x}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} + 2 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.2.7.2

Suma $2 x^{\frac{1}{3}} e^{x}$ y $2 x^{\frac{1}{3}} e^{x}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.2.8

Para escribir $x^{\frac{2}{3}} e^{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} e^{x} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.2.9

Combina $x^{\frac{2}{3}} e^{x}$ y $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}} e^{x} (3 x^{\frac{2}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.2.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{\frac{2}{3}} e^{x} (3 x^{\frac{2}{3}}) + 4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.2.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}} e^{x} \cdot 3 + 4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.2.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{\frac{2 + 2}{3}} e^{x} \cdot 3 + 4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.2.13

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{x^{\frac{4}{3}} e^{x} \cdot 3 + 4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.2.14

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{\frac{4}{3}} e^{x}$ .

$\frac{3 x^{\frac{4}{3}} e^{x} + 4 x^{\frac{1}{3}} e^{x} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.3

Reordena los términos.

$\frac{3 e^{x} x^{\frac{4}{3}} + 4 e^{x} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.4.4.1

Factoriza $e^{x}$ de $3 e^{x} x^{\frac{4}{3}} + 4 e^{x} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.4.1.1

Factoriza $e^{x}$ de $3 e^{x} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}}) + 4 e^{x} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4.1.2

Factoriza $e^{x}$ de $4 e^{x} x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}}) + e^{x} (4 x^{\frac{1}{3}}) - \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4.1.3

Factoriza $e^{x}$ de $- \frac{2 e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}}) + e^{x} (4 x^{\frac{1}{3}}) + e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4.1.4

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}}) + e^{x} (4 x^{\frac{1}{3}})$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}}) + e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4.1.5

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}}) + e^{x} (- \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4.2

Reordena los términos.

$\frac{e^{x} (4 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{4}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4.3

Para escribir $4 x^{\frac{1}{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4.4

Combina $4 x^{\frac{1}{3}}$ y $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{4 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) - 2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.4.6.1

Factoriza $2$ de $4 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.4.6.1.1

Factoriza $2$ de $4 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})) - 2}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4.6.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})) + 2 (- 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4.6.1.3

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})) + 2 (- 1)$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4.6.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4.6.3

Multiplica $x^{\frac{1}{3}}$ por $x^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.4.6.3.1

Mueve $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4.6.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4.6.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 x^{\frac{2 + 1}{3}} - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4.6.3.4

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 x^{\frac{3}{3}} - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4.6.3.5

Divide $3$ por $3$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 x^{1} - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4.6.4

Simplifica $2 \cdot 3 x^{1}$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (2 \cdot 3 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4.6.5

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4.7

Para escribir $3 x^{\frac{4}{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{e^{x} (3 x^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4.8

Combina $3 x^{\frac{4}{3}}$ y $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{e^{x} (\frac{3 x^{\frac{4}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{x} \frac{3 x^{\frac{4}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.4.4.10.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{e^{x} \frac{3 \cdot 3 x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4.10.2

Multiplica $x^{\frac{4}{3}}$ por $x^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.4.10.2.1

Mueve $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{e^{x} \frac{3 \cdot 3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}}) + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4.10.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{x} \frac{3 \cdot 3 x^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}} + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4.10.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{x} \frac{3 \cdot 3 x^{\frac{2 + 4}{3}} + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4.10.2.4

Suma $2$ y $4$ .

$\frac{e^{x} \frac{3 \cdot 3 x^{\frac{6}{3}} + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4.10.2.5

Divide $6$ por $3$ .

$\frac{e^{x} \frac{3 \cdot 3 x^{2} + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4.10.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{e^{x} \frac{9 x^{2} + 2 (6 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4.10.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{x} \frac{9 x^{2} + 2 (6 x) + 2 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4.10.5

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{e^{x} \frac{9 x^{2} + 12 x + 2 \cdot - 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.4.10.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{e^{x} \frac{9 x^{2} + 12 x - 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.5

Combina $e^{x}$ y $\frac{9 x^{2} + 12 x - 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.4.7

Combinar.

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) \cdot 1}{3 x^{\frac{2}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}})}$

Paso 2.2.4.8

Multiplica $x^{\frac{2}{3}}$ por $x^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.8.1

Mueve $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) \cdot 1}{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}) \cdot 3}$

Paso 2.2.4.8.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) \cdot 1}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}} \cdot 3}$

Paso 2.2.4.8.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) \cdot 1}{3 x^{\frac{2 + 2}{3}} \cdot 3}$

Paso 2.2.4.8.4

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) \cdot 1}{3 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3}$

Paso 2.2.4.9

Multiplica $e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)$ por $1$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{3 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3}$

Paso 2.2.4.10

Multiplica $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{9 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2)}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) = 0$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$9 x^{2} + 12 x - 2 = 0$

Paso 3.3.2

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.2.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 3.3.2.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 3.3.2.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 3.3.2.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 3.3.3

Establece $9 x^{2} + 12 x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.3.1

Establece $9 x^{2} + 12 x - 2$ igual a $0$ .

$9 x^{2} + 12 x - 2 = 0$

Paso 3.3.3.2

Resuelve $9 x^{2} + 12 x - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.3.3.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.3.3.2.2

Sustituye los valores $a = 9$ , $b = 12$ y $c = - 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (9 \cdot - 2)}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.3.3.2.3

Simplifica.

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Paso 3.3.3.2.3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.2.3.1.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.3.3.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 9 \cdot - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.3.3.2.3.1.2.2

Multiplica $- 36$ por $- 2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 72}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.3.3.2.3.1.3

Suma $144$ y $72$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{216}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.3.3.2.3.1.4

Reescribe $216$ como $6^{2} \cdot 6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.2.3.1.4.1

Factoriza $36$ de $216$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{36 (6)}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.3.3.2.3.1.4.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.3.3.2.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.3.3.2.3.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{18}$

Paso 3.3.3.2.3.3

Simplifica $\frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{18}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{6}}{3}$

Paso 3.3.3.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 3.3.3.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.3.2.4.1.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.3.3.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 9 \cdot - 2$ .

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Paso 3.3.3.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.3.3.2.4.1.2.2

Multiplica $- 36$ por $- 2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 72}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.3.3.2.4.1.3

Suma $144$ y $72$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{216}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.3.3.2.4.1.4

Reescribe $216$ como $6^{2} \cdot 6$ .

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Paso 3.3.3.2.4.1.4.1

Factoriza $36$ de $216$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{36 (6)}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.3.3.2.4.1.4.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.3.3.2.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.3.3.2.4.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{18}$

Paso 3.3.3.2.4.3

Simplifica $\frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{18}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{6}}{3}$

Paso 3.3.3.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 2 + \sqrt{6}}{3}$

Paso 3.3.3.2.4.5

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{6}}{3}$

Paso 3.3.3.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{6})}{3}$

Paso 3.3.3.2.4.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{6})$ .

$x = \frac{- 1 (2 - \sqrt{6})}{3}$

Paso 3.3.3.2.4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2 - \sqrt{6}}{3}$

Paso 3.3.3.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 3.3.3.2.5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.2.5.1.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.3.3.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 9 \cdot - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.3.3.2.5.1.2.2

Multiplica $- 36$ por $- 2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 72}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.3.3.2.5.1.3

Suma $144$ y $72$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{216}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.3.3.2.5.1.4

Reescribe $216$ como $6^{2} \cdot 6$ .

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Paso 3.3.3.2.5.1.4.1

Factoriza $36$ de $216$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{36 (6)}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.3.3.2.5.1.4.2

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.3.3.2.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{2 \cdot 9}$

Paso 3.3.3.2.5.2

Multiplica $2$ por $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{18}$

Paso 3.3.3.2.5.3

Simplifica $\frac{- 12 \pm 6 \sqrt{6}}{18}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{6}}{3}$

Paso 3.3.3.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 2 - \sqrt{6}}{3}$

Paso 3.3.3.2.5.5

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{6}}{3}$

Paso 3.3.3.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{6})}{3}$

Paso 3.3.3.2.5.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (2) - (\sqrt{6})$ .

$x = \frac{- 1 (2 + \sqrt{6})}{3}$

Paso 3.3.3.2.5.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2 + \sqrt{6}}{3}$

Paso 3.3.3.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{2 - \sqrt{6}}{3}, - \frac{2 + \sqrt{6}}{3}$

Paso 3.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{x} (9 x^{2} + 12 x - 2) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{2 - \sqrt{6}}{3}, - \frac{2 + \sqrt{6}}{3}$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0.14982991$ en $f (x) = x^{\frac{2}{3}} e^{x}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.14982991$ en la expresión.

$f (0.14982991) = {(0.14982991)}^{\frac{2}{3}} e^{0.14982991}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Eleva $0.14982991$ a la potencia de $\frac{2}{3}$ .

$f (0.14982991) = 0.28209735 e^{0.14982991}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $0.28209735$ por $e^{0.14982991}$ .

$f (0.14982991) = 0.32769463$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $0.32769463$ .

$0.32769463$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0.14982991$ en $f (x) = x^{\frac{2}{3}} e^{x}$ es $(0.14982991, 0.32769463)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0.14982991, 0.32769463)$

Paso 4.3

Sustituye $- 1.48316324$ en $f (x) = x^{\frac{2}{3}} e^{x}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.48316324$ en la expresión.

$f (- 1.48316324) = {(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}} e^{- 1.48316324}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 1.48316324) = {(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{e^{1.48316324}})$

Paso 4.3.2.2

Combina ${(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}$ y $\frac{1}{e^{1.48316324}}$ .

$f (- 1.48316324) = \frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}}$

Paso 4.3.2.3

La respuesta final es $\frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}}$ .

$\frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}}$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 1.48316324$ en $f (x) = x^{\frac{2}{3}} e^{x}$ es $(- 1.48316324, \frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 1.48316324, \frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}})$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0.14982991, 0.32769463), (- 1.48316324, \frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 1.48316324) \cup (- 1.48316324, 0.14982991) \cup (0.14982991, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1.48316324)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.58316324$ en la expresión.

$f'' (- 1.58316324) = \frac{e^{- 1.58316324} (9 {(- 1.58316324)}^{2} + 12 (- 1.58316324) - 2)}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Mueve $e^{- 1.58316324}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1.58316324) = \frac{9 {(- 1.58316324)}^{2} + 12 (- 1.58316324) - 2}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.2.1

Eleva $- 1.58316324$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.58316324) = \frac{9 \cdot 2.50640586 + 12 (- 1.58316324) - 2}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $9$ por $2.50640586$ .

$f'' (- 1.58316324) = \frac{22.55765281 + 12 (- 1.58316324) - 2}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

Paso 6.2.2.3

Multiplica $12$ por $- 1.58316324$ .

$f'' (- 1.58316324) = \frac{22.55765281 - 18.99795897 - 2}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

Paso 6.2.2.4

Resta $18.99795897$ de $22.55765281$ .

$f'' (- 1.58316324) = \frac{3.55969384 - 2}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

Paso 6.2.2.5

Resta $2$ de $3.55969384$ .

$f'' (- 1.58316324) = \frac{1.55969384}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $\frac{1.55969384}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$ .

$\frac{1.55969384}{9 {(- 1.58316324)}^{\frac{4}{3}} e^{1.58316324}}$

Paso 6.3

En $- 1.58316324$ , la segunda derivada es $0.01928428$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - 1.48316324)$ .

Incremento en $(- \infty, - 1.48316324)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 1.48316324, 0.14982991)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.66666666$ en la expresión.

$f'' (- 0.66666666) = \frac{e^{- 0.66666666} (9 {(- 0.66666666)}^{2} + 12 (- 0.66666666) - 2)}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Mueve $e^{- 0.66666666}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.66666666) = \frac{9 {(- 0.66666666)}^{2} + 12 (- 0.66666666) - 2}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.2.1

Eleva $- 0.66666666$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.66666666) = \frac{9 \cdot 0.\overline{4} + 12 (- 0.66666666) - 2}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

Paso 7.2.2.2

Multiplica $9$ por $0.\overline{4}$ .

$f'' (- 0.66666666) = \frac{4 + 12 (- 0.66666666) - 2}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

Paso 7.2.2.3

Multiplica $12$ por $- 0.66666666$ .

$f'' (- 0.66666666) = \frac{4 - 8 - 2}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

Paso 7.2.2.4

Resta $8$ de $4$ .

$f'' (- 0.66666666) = \frac{- 4 - 2}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

Paso 7.2.2.5

Resta $2$ de $- 4$ .

$f'' (- 0.66666666) = \frac{- 6}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

Paso 7.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 0.66666666) = - \frac{6}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $- \frac{6}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$ .

$- \frac{6}{9 {(- 0.66666666)}^{\frac{4}{3}} e^{0.66666666}}$

Paso 7.3

En $- 0.66666666$ , la segunda derivada es $- 0.58771588$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- 1.48316324, 0.14982991)$ .

Decrecimiento en $(- 1.48316324, 0.14982991)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0.14982991, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.24982991$ en la expresión.

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} (9 {(0.24982991)}^{2} + 12 (0.24982991) - 2)}{9 {(0.24982991)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $0.24982991$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} (9 \cdot 0.06241498 + 12 (0.24982991) - 2)}{9 \cdot {0.24982991}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $9$ por $0.06241498$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} (0.56173487 + 12 (0.24982991) - 2)}{9 \cdot {0.24982991}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $12$ por $0.24982991$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} (0.56173487 + 2.99795897 - 2)}{9 \cdot {0.24982991}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 8.2.1.4

Suma $0.56173487$ y $2.99795897$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} (3.55969384 - 2)}{9 \cdot {0.24982991}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 8.2.1.5

Resta $2$ de $3.55969384$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} \cdot 1.55969384}{9 \cdot {0.24982991}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 8.2.2

Simplifica mediante la multiplicación de los términos.

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Paso 8.2.2.1

Eleva $0.24982991$ a la potencia de $\frac{4}{3}$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{e^{0.24982991} \cdot 1.55969384}{9 \cdot 0.15734728}$

Paso 8.2.2.2

Multiplica $e^{0.24982991}$ por $1.55969384$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{2.00234594}{9 \cdot 0.15734728}$

Paso 8.2.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 8.2.2.3.1

Multiplica $9$ por $0.15734728$ .

$f'' (0.24982991) = \frac{2.00234594}{1.41612555}$

Paso 8.2.2.3.2

Divide $2.00234594$ por $1.41612555$ .

$f'' (0.24982991) = 1.41396073$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $1.41396073$ .

$1.41396073$

Paso 8.3

En $0.24982991$ , la segunda derivada es $1.41396073$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0.14982991, \infty)$ .

Incremento en $(0.14982991, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- 1.48316324, \frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}}), (0.14982991, 0.32769463)$ .

$(- 1.48316324, \frac{{(- 1.48316324)}^{\frac{2}{3}}}{e^{1.48316324}}), (0.14982991, 0.32769463)$

Paso 10