Cálculo Ejemplos

$x e^{- x^{2}}$

Paso 1

Escribe $x e^{- x^{2}}$ como una función.

$f (x) = x e^{- x^{2}}$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x^{2}$ .

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Paso 2.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x^{2}$ .

$f' (x) = x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.7.1

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.7.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{- x^{2}}$ .

$f' (x) = x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.1.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$

Paso 2.1.9

Multiplica $e^{- x^{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}}$

Paso 2.1.10

Simplifica.

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Paso 2.1.10.1

Reordena los términos.

$f' (x) = - 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$

Paso 2.1.10.2

Reordena los factores en $- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$ .

$f' (x) = - 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$ .

$- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}} = 0$

Paso 3.2

Factoriza $e^{- x^{2}}$ de $- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $e^{- x^{2}}$ de $- 2 x^{2} e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x^{2}) + e^{- x^{2}} = 0$

Paso 3.2.2

Multiplica por $1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x^{2}) + e^{- x^{2}} \cdot 1 = 0$

Paso 3.2.3

Factoriza $e^{- x^{2}}$ de $e^{- x^{2}} (- 2 x^{2}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x^{2} + 1) = 0$

Paso 3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

$- 2 x^{2} + 1 = 0$

Paso 3.4

Establece $e^{- x^{2}}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $e^{- x^{2}}$ igual a $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $e^{- x^{2}} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- x^{2}}) = \ln (0)$

Paso 3.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 3.4.2.3

No hay soluciones para $e^{- x^{2}} = 0$

No hay solución

Paso 3.5

Establece $- 2 x^{2} + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.5.1

Establece $- 2 x^{2} + 1$ igual a $0$ .

$- 2 x^{2} + 1 = 0$

Paso 3.5.2

Resuelve $- 2 x^{2} + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x^{2} = - 1$

Paso 3.5.2.2

Divide cada término en $- 2 x^{2} = - 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.2.1

Divide cada término en $- 2 x^{2} = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 3.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 3.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 3.5.2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 3.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Paso 3.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Paso 3.5.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.5.2.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Paso 3.5.2.4.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 3.5.2.4.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 3.5.2.4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.5.2.4.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.5.2.4.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 3.5.2.4.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 3.5.2.4.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 3.5.2.4.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 3.5.2.4.4.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.5.2.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.5.2.4.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.5.2.4.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.5.2.4.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.4.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.5.2.4.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 3.5.2.4.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3.5.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.5.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3.5.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3.5.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{- x^{2}} (- 2 x^{2} + 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.70710677$ en la expresión.

$f' (- 1.70710677) = - 2 {(- 1.70710677)}^{2} e^{- {(- 1.70710677)}^{2}} + e^{- {(- 1.70710677)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 1.70710677$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1.70710677) = - 2 \cdot (2.91421352 e^{- {(- 1.70710677)}^{2}}) + e^{- {(- 1.70710677)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $2.91421352$ .

$f' (- 1.70710677) = - 5.82842704 e^{- {(- 1.70710677)}^{2}} + e^{- {(- 1.70710677)}^{2}}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $- 1.70710677$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1.70710677) = - 5.82842704 e^{- 1 \cdot 2.91421352} + e^{- {(- 1.70710677)}^{2}}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $2.91421352$ .

$f' (- 1.70710677) = - 5.82842704 e^{- 2.91421352} + e^{- {(- 1.70710677)}^{2}}$

Paso 6.2.1.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1.70710677) = - 5.82842704 \frac{1}{e^{2.91421352}} + e^{- {(- 1.70710677)}^{2}}$

Paso 6.2.1.6

Combina $- 5.82842704$ y $\frac{1}{e^{2.91421352}}$ .

$f' (- 1.70710677) = \frac{- 5.82842704}{e^{2.91421352}} + e^{- {(- 1.70710677)}^{2}}$

Paso 6.2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 1.70710677) = - \frac{5.82842704}{e^{2.91421352}} + e^{- {(- 1.70710677)}^{2}}$

Paso 6.2.1.8

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f' (- 1.70710677) = - \frac{5.82842704}{{2.71828182}^{2.91421352}} + e^{- {(- 1.70710677)}^{2}}$

Paso 6.2.1.9

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $2.91421352$ .

$f' (- 1.70710677) = - \frac{5.82842704}{18.43430856} + e^{- {(- 1.70710677)}^{2}}$

Paso 6.2.1.10

Divide $5.82842704$ por $18.43430856$ .

$f' (- 1.70710677) = - 1 \cdot 0.3161728 + e^{- {(- 1.70710677)}^{2}}$

Paso 6.2.1.11

Multiplica $- 1$ por $0.3161728$ .

$f' (- 1.70710677) = - 0.3161728 + e^{- {(- 1.70710677)}^{2}}$

Paso 6.2.1.12

Eleva $- 1.70710677$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1.70710677) = - 0.3161728 + e^{- 1 \cdot 2.91421352}$

Paso 6.2.1.13

Multiplica $- 1$ por $2.91421352$ .

$f' (- 1.70710677) = - 0.3161728 + e^{- 2.91421352}$

Paso 6.2.1.14

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1.70710677) = - 0.3161728 + \frac{1}{e^{2.91421352}}$

Paso 6.2.2

Suma $- 0.3161728$ y $\frac{1}{e^{2.91421352}}$ .

$f' (- 1.70710677) = - 0.26192612$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 0.26192612$ .

$- 0.26192612$

Paso 6.3

En $x = - 1.70710677$ la derivada es $- 0.26192612$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 0.70710677, \frac{\sqrt{2}}{2})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = - 2 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f' (0) = - 2 \cdot (0 e^{- {(0)}^{2}}) + e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$f' (0) = 0 e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 7.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f' (0) = 0 e^{- 0} + e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f' (0) = 0 e^{0} + e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 7.2.1.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f' (0) = 0 \cdot 1 + e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 7.2.1.6

Multiplica $0$ por $1$ .

$f' (0) = 0 + e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 7.2.1.7

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f' (0) = 0 + e^{- 0}$

Paso 7.2.1.8

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + e^{0}$

Paso 7.2.1.9

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Paso 7.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$f' (0) = 1$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 7.3

En $x = 0$ la derivada es $1$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 0.70710677, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Incremento en $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.70710677$ en la expresión.

$f' (1.70710677) = - 2 {(1.70710677)}^{2} e^{- {(1.70710677)}^{2}} + e^{- {(1.70710677)}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $1.70710677$ a la potencia de $2$ .

$f' (1.70710677) = - 2 \cdot (2.91421352 e^{- {(1.70710677)}^{2}}) + e^{- {(1.70710677)}^{2}}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $2.91421352$ .

$f' (1.70710677) = - 5.82842704 e^{- {(1.70710677)}^{2}} + e^{- {(1.70710677)}^{2}}$

Paso 8.2.1.3

Eleva $1.70710677$ a la potencia de $2$ .

$f' (1.70710677) = - 5.82842704 e^{- 1 \cdot 2.91421352} + e^{- {(1.70710677)}^{2}}$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $2.91421352$ .

$f' (1.70710677) = - 5.82842704 e^{- 2.91421352} + e^{- {(1.70710677)}^{2}}$

Paso 8.2.1.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1.70710677) = - 5.82842704 \frac{1}{e^{2.91421352}} + e^{- {(1.70710677)}^{2}}$

Paso 8.2.1.6

Combina $- 5.82842704$ y $\frac{1}{e^{2.91421352}}$ .

$f' (1.70710677) = \frac{- 5.82842704}{e^{2.91421352}} + e^{- {(1.70710677)}^{2}}$

Paso 8.2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (1.70710677) = - \frac{5.82842704}{e^{2.91421352}} + e^{- {(1.70710677)}^{2}}$

Paso 8.2.1.8

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f' (1.70710677) = - \frac{5.82842704}{{2.71828182}^{2.91421352}} + e^{- {(1.70710677)}^{2}}$

Paso 8.2.1.9

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $2.91421352$ .

$f' (1.70710677) = - \frac{5.82842704}{18.43430856} + e^{- {(1.70710677)}^{2}}$

Paso 8.2.1.10

Divide $5.82842704$ por $18.43430856$ .

$f' (1.70710677) = - 1 \cdot 0.3161728 + e^{- {(1.70710677)}^{2}}$

Paso 8.2.1.11

Multiplica $- 1$ por $0.3161728$ .

$f' (1.70710677) = - 0.3161728 + e^{- {(1.70710677)}^{2}}$

Paso 8.2.1.12

Eleva $1.70710677$ a la potencia de $2$ .

$f' (1.70710677) = - 0.3161728 + e^{- 1 \cdot 2.91421352}$

Paso 8.2.1.13

Multiplica $- 1$ por $2.91421352$ .

$f' (1.70710677) = - 0.3161728 + e^{- 2.91421352}$

Paso 8.2.1.14

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1.70710677) = - 0.3161728 + \frac{1}{e^{2.91421352}}$

Paso 8.2.2

Suma $- 0.3161728$ y $\frac{1}{e^{2.91421352}}$ .

$f' (1.70710677) = - 0.26192612$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $- 0.26192612$ .

$- 0.26192612$

Paso 8.3

En $x = 1.70710677$ la derivada es $- 0.26192612$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ .

Decrecimiento en $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Decrecimiento en: $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

Paso 10