Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} e^{x}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3})$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Reordena los términos.

$f' (x) = e^{x} x^{4} + 4 e^{x} x^{3}$

Paso 1.1.4.2

Reordena los factores en $e^{x} x^{4} + 4 e^{x} x^{3}$ .

$f' (x) = x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4} e^{x}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Paso 1.2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{x}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3} e^{x}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x})$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Paso 1.2.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Paso 1.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}))$

Paso 1.2.4

Simplifica.

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Paso 1.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x}) + 4 (e^{x} (3 x^{2}))$

Paso 1.2.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.2.4.2.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 x^{3} e^{x} + 12 (e^{x} (x^{2}))$

Paso 1.2.4.2.2

Suma $e^{x} (4 x^{3})$ y $4 x^{3} e^{x}$ .

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Paso 1.2.4.2.2.1

Mueve $e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} + 12 e^{x} x^{2}$

Paso 1.2.4.2.2.2

Suma $4 x^{3} e^{x}$ y $4 x^{3} e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 e^{x} x^{2}$

Paso 1.2.4.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = e^{x} x^{4} + 8 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2}$

Paso 1.2.4.4

Reordena los factores en $e^{x} x^{4} + 8 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$ .

$x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $x^{2} e^{x}$ de $x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $x^{2} e^{x}$ de $x^{4} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2}) + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $x^{2} e^{x}$ de $8 x^{3} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2}) + x^{2} e^{x} (8 x) + 12 x^{2} e^{x} = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $x^{2} e^{x}$ de $12 x^{2} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2}) + x^{2} e^{x} (8 x) + x^{2} e^{x} (12) = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $x^{2} e^{x}$ de $x^{2} e^{x} (x^{2}) + x^{2} e^{x} (8 x)$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2} + 8 x) + x^{2} e^{x} (12) = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $x^{2} e^{x}$ de $x^{2} e^{x} (x^{2} + 8 x) + x^{2} e^{x} (12)$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2} + 8 x + 12) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x^{2} + 8 x + 12$ con el método AC.

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Paso 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $12$ y cuya suma es $8$ .

$2, 6$

Paso 2.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$x^{2} e^{x} ((x + 2) (x + 6)) = 0$

Paso 2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x^{2} e^{x} (x + 2) (x + 6) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Paso 2.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 2.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 2.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 2.5.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 2.5.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 2.6

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 2.6.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.7

Establece $x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.7.1

Establece $x + 6$ igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Paso 2.7.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Paso 2.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $x^{2} e^{x} (x + 2) (x + 6) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 2, - 6$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $0$ en $f (x) = x^{4} e^{x}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{4} e^{0}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 e^{0}$

Paso 3.1.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

Paso 3.1.2.3

Multiplica $0$ por $1$ .

$f (0) = 0$

Paso 3.1.2.4

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = x^{4} e^{x}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 3.3

Sustituye $- 2$ en $f (x) = x^{4} e^{x}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = {(- 2)}^{4} e^{- 2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$f (- 2) = 16 e^{- 2}$

Paso 3.3.2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2) = 16 (\frac{1}{e^{2}})$

Paso 3.3.2.3

Combina $16$ y $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f (- 2) = \frac{16}{e^{2}}$

Paso 3.3.2.4

La respuesta final es $\frac{16}{e^{2}}$ .

$\frac{16}{e^{2}}$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 2$ en $f (x) = x^{4} e^{x}$ es $(- 2, \frac{16}{e^{2}})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 2, \frac{16}{e^{2}})$

Paso 3.5

Sustituye $- 6$ en $f (x) = x^{4} e^{x}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f (- 6) = {(- 6)}^{4} e^{- 6}$

Paso 3.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.5.2.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $4$ .

$f (- 6) = 1296 e^{- 6}$

Paso 3.5.2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 6) = 1296 (\frac{1}{e^{6}})$

Paso 3.5.2.3

Combina $1296$ y $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f (- 6) = \frac{1296}{e^{6}}$

Paso 3.5.2.4

La respuesta final es $\frac{1296}{e^{6}}$ .

$\frac{1296}{e^{6}}$

Paso 3.6

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 6$ en $f (x) = x^{4} e^{x}$ es $(- 6, \frac{1296}{e^{6}})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 6, \frac{1296}{e^{6}})$

Paso 3.7

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (- 2, \frac{16}{e^{2}}), (- 6, \frac{1296}{e^{6}})$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 6)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6.1$ en la expresión.

$f'' (- 6.1) = {(- 6.1)}^{4} e^{- 6.1} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 6.1$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 6.1) = 1384.5841 e^{- 6.1} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Paso 5.2.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6.1) = 1384.5841 (\frac{1}{e^{6.1}}) + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Paso 5.2.1.3

Combina $1384.5841$ y $\frac{1}{e^{6.1}}$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{1384.5841}{e^{6.1}} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Paso 5.2.1.4

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (- 6.1) = \frac{1384.5841}{{2.71828182}^{6.1}} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Paso 5.2.1.5

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $6.1$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{1384.5841}{445.85777008} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Paso 5.2.1.6

Divide $1384.5841$ por $445.85777008$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Paso 5.2.1.7

Eleva $- 6.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 + 8 \cdot (- 226.981 e^{- 6.1}) + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Paso 5.2.1.8

Multiplica $8$ por $- 226.981$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 1815.848 e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Paso 5.2.1.9

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 1815.848 \frac{1}{e^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Paso 5.2.1.10

Combina $- 1815.848$ y $\frac{1}{e^{6.1}}$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 + \frac{- 1815.848}{e^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Paso 5.2.1.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - \frac{1815.848}{e^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Paso 5.2.1.12

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - \frac{1815.848}{{2.71828182}^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Paso 5.2.1.13

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $6.1$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - \frac{1815.848}{445.85777008} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Paso 5.2.1.14

Divide $1815.848$ por $445.85777008$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 1 \cdot 4.07270686 + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Paso 5.2.1.15

Multiplica $- 1$ por $4.07270686$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Paso 5.2.1.16

Eleva $- 6.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 12 \cdot (37.21 e^{- 6.1})$

Paso 5.2.1.17

Multiplica $12$ por $37.21$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 446.52 e^{- 6.1}$

Paso 5.2.1.18

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 446.52 (\frac{1}{e^{6.1}})$

Paso 5.2.1.19

Combina $446.52$ y $\frac{1}{e^{6.1}}$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + \frac{446.52}{e^{6.1}}$

Paso 5.2.1.20

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + \frac{446.52}{{2.71828182}^{6.1}}$

Paso 5.2.1.21

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $6.1$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + \frac{446.52}{445.85777008}$

Paso 5.2.1.22

Divide $446.52$ por $445.85777008$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 1.00148529$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.2.1

Resta $4.07270686$ de $3.10543898$ .

$f'' (- 6.1) = - 0.96726787 + 1.00148529$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 0.96726787$ y $1.00148529$ .

$f'' (- 6.1) = 0.03421741$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $0.03421741$ .

$0.03421741$

Paso 5.3

En $- 6.1$ , la segunda derivada es $0.03421741$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - 6)$ .

Incremento en $(- \infty, - 6)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 6, - 2)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f'' (- 4) = {(- 4)}^{4} e^{- 4} + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 4$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 4) = 256 e^{- 4} + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Paso 6.2.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = 256 (\frac{1}{e^{4}}) + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Paso 6.2.1.3

Combina $256$ y $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Paso 6.2.1.4

Eleva $- 4$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} + 8 \cdot (- 64 e^{- 4}) + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Paso 6.2.1.5

Multiplica $8$ por $- 64$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - 512 e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Paso 6.2.1.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - 512 \frac{1}{e^{4}} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Paso 6.2.1.7

Combina $- 512$ y $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} + \frac{- 512}{e^{4}} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Paso 6.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Paso 6.2.1.9

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 12 \cdot (16 e^{- 4})$

Paso 6.2.1.10

Multiplica $12$ por $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 192 e^{- 4}$

Paso 6.2.1.11

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 192 (\frac{1}{e^{4}})$

Paso 6.2.1.12

Combina $192$ y $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + \frac{192}{e^{4}}$

Paso 6.2.2

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (- 4) = \frac{256 - 512 + 192}{e^{4}}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.2.1

Resta $512$ de $256$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 256 + 192}{e^{4}}$

Paso 6.2.2.2.2

Suma $- 256$ y $192$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 64}{e^{4}}$

Paso 6.2.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}}$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- \frac{64}{e^{4}}$ .

$- \frac{64}{e^{4}}$

Paso 6.3

En $- 4$ , la segunda derivada es $- 1.17220088$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- 6, - 2)$ .

Decrecimiento en $(- 6, - 2)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 2, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f'' (- 1) = {(- 1)}^{4} e^{- 1} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 1) = 1 e^{- 1} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $e^{- 1}$ por $1$ .

$f'' (- 1) = e^{- 1} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Paso 7.2.1.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Paso 7.2.1.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} + 8 \cdot (- 1 e^{- 1}) + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Paso 7.2.1.5

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - 8 e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Paso 7.2.1.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - 8 \frac{1}{e} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Paso 7.2.1.7

Combina $- 8$ y $\frac{1}{e}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} + \frac{- 8}{e} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Paso 7.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Paso 7.2.1.9

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 \cdot (1 e^{- 1})$

Paso 7.2.1.10

Multiplica $12$ por $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 e^{- 1}$

Paso 7.2.1.11

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 (\frac{1}{e})$

Paso 7.2.1.12

Combina $12$ y $\frac{1}{e}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + \frac{12}{e}$

Paso 7.2.2

Combina fracciones.

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Paso 7.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (- 1) = \frac{1 - 8 + 12}{e}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 7.2.2.2.1

Resta $8$ de $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 7 + 12}{e}$

Paso 7.2.2.2.2

Suma $- 7$ y $12$ .

$f'' (- 1) = \frac{5}{e}$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $\frac{5}{e}$ .

$\frac{5}{e}$

Paso 7.3

En $- 1$ , la segunda derivada es $1.8393972$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 2, 0)$ .

Incremento en $(- 2, 0)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = {(0.1)}^{4} e^{0.1} + 8 {(0.1)}^{3} e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $0.1$ a la potencia de $4$ .

$f'' (0.1) = 0.0001 e^{0.1} + 8 {(0.1)}^{3} e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $0.0001$ por $e^{0.1}$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 8 {(0.1)}^{3} e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Paso 8.2.1.3

Eleva $0.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 8 \cdot (0.001 e^{0.1}) + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $8$ por $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.008 e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Paso 8.2.1.5

Multiplica $0.008$ por $e^{0.1}$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Paso 8.2.1.6

Eleva $0.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 12 \cdot (0.01 e^{0.1})$

Paso 8.2.1.7

Multiplica $12$ por $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 0.12 e^{0.1}$

Paso 8.2.1.8

Multiplica $0.12$ por $e^{0.1}$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 0.13262051$

Paso 8.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 8.2.2.1

Suma $0.00011051$ y $0.00884136$ .

$f'' (0.1) = 0.00895188 + 0.13262051$

Paso 8.2.2.2

Suma $0.00895188$ y $0.13262051$ .

$f'' (0.1) = 0.14157239$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $0.14157239$ .

$0.14157239$

Paso 8.3

En $0.1$ , la segunda derivada es $0.14157239$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 6, \frac{1296}{e^{6}}), (- 2, \frac{16}{e^{2}})$ .

$(- 6, \frac{1296}{e^{6}}), (- 2, \frac{16}{e^{2}})$

Paso 10