Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{16 e^{\frac{x}{4}} - 16 - 4 x - \frac{1}{2} x^{2}}{x^{3}}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 16 e^{\frac{x}{4}} - 16 - 4 x - \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 16 e^{\frac{x}{4}} - lim_{x \to 0} 16 - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.2.2

Mueve el término $16$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{16 lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{4}} - lim_{x \to 0} 16 - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.2.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{16 e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{4}} - lim_{x \to 0} 16 - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.2.4

Mueve el término $\frac{1}{4}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 16 - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.2.5

Evalúa el límite de $16$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 16 - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.2.6

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 16 - 4 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \frac{1}{2} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.2.7

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 16 - 4 lim_{x \to 0} x - \frac{1}{2} lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.2.8

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 16 - 4 lim_{x \to 0} x - \frac{1}{2} {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.2.9

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.2.9.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} \cdot 0} - 1 \cdot 16 - 4 lim_{x \to 0} x - \frac{1}{2} {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.2.9.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} \cdot 0} - 1 \cdot 16 - 4 \cdot 0 - \frac{1}{2} {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.2.9.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{16 e^{\frac{1}{4} \cdot 0} - 1 \cdot 16 - 4 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.2.10

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.10.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.10.1.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $0$ .

$\frac{16 e^{0} - 1 \cdot 16 - 4 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.2.10.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{16 \cdot 1 - 1 \cdot 16 - 4 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.2.10.1.3

Multiplica $16$ por $1$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16 - 4 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.2.10.1.4

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$\frac{16 - 16 - 4 \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.2.10.1.5

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$\frac{16 - 16 + 0 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.2.10.1.6

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{16 - 16 + 0 - \frac{1}{2} \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.2.10.1.7

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

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Paso 1.2.10.1.7.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{16 - 16 + 0 + 0 (\frac{1}{2})}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.2.10.1.7.2

Multiplica $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{16 - 16 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.2.10.2

Resta $16$ de $16$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.2.10.3

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.2.10.4

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Paso 1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.3.1

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Paso 1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0^{3}}$

Paso 1.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{16 e^{\frac{x}{4}} - 16 - 4 x - \frac{1}{2} x^{2}}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16 e^{\frac{x}{4}} - 16 - 4 x - \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16 e^{\frac{x}{4}} - 16 - 4 x - \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $16 e^{\frac{x}{4}} - 16 - 4 x - \frac{1}{2} x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [16 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [16 e^{\frac{x}{4}}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 e^{\frac{x}{4}}$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{4}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 (e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]) + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.3.3

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 (e^{\frac{x}{4}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 (e^{\frac{x}{4}} (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.3.5

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 (e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4}) + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.3.6

Combina $e^{\frac{x}{4}}$ y $\frac{1}{4}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{16 \frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.3.7

Combina $16$ y $\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{16 e^{\frac{x}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.3.8

Cancela el factor común de $16$ y $4$ .

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Paso 3.3.8.1

Factoriza $4$ de $16 e^{\frac{x}{4}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 (4 e^{\frac{x}{4}})}{4} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.3.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.8.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 (4 e^{\frac{x}{4}})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.3.8.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 (4 e^{\frac{x}{4}})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.3.8.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 e^{\frac{x}{4}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.3.8.2.4

Divide $4 e^{\frac{x}{4}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + \frac{d}{d x} [- 16] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.4

Como $- 16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 3.5.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.5.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.6

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

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Paso 3.6.1

Como $- \frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{1}{2} x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 - \frac{1}{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.6.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 - 2 (\frac{1}{2}) x}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.6.4

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{- 2}{2} x}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.6.5

Combina $\frac{- 2}{2}$ y $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{- 2 x}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.6.6

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 3.6.6.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{2 (- x)}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.6.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{2 (- x)}{2 (1)}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.6.6.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.6.6.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 + \frac{- x}{1}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.6.6.2.4

Divide $- x$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} + 0 - 4 - x}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.7

Simplifica.

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Paso 3.7.1

Suma $4 e^{\frac{x}{4}}$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{\frac{x}{4}} - 4 - x}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.7.2

Reordena los términos.

$lim_{x \to 0} \frac{- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Paso 3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4}{3 x^{2}}$

Paso 4

Mueve el término $\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4}{x^{2}}$

Paso 5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 5.1.2

Evalúa el límite del numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 4 e^{\frac{x}{4}} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 5.1.2.2

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x + 4 lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{4}} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 5.1.2.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x + 4 e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{4}} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 5.1.2.4

Mueve el término $\frac{1}{4}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x + 4 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 5.1.2.5

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} x + 4 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 5.1.2.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 4 e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 5.1.2.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 4 e^{\frac{1}{4} \cdot 0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 5.1.2.7

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.7.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.2.7.1.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 4 e^{0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 5.1.2.7.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 4 \cdot 1 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 5.1.2.7.1.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 5.1.2.7.1.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0 + 4 - 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 5.1.2.7.2

Suma $0$ y $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 - 4}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 5.1.2.7.3

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 5.1.3

Evalúa el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.3.1

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Paso 5.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Paso 5.1.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 5.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 5.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 5.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- x + 4 e^{\frac{x}{4}} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 5.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 5.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 5.3.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \frac{d}{d x} [4 e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 5.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 e^{\frac{x}{4}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.4.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 e^{\frac{x}{4}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 5.3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Paso 5.3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 5.3.4.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 5.3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 5.3.4.3

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 5.3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 5.3.4.5

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 5.3.4.6

Combina $e^{\frac{x}{4}}$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + 4 \frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 5.3.4.7

Combina $4$ y $\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \frac{4 e^{\frac{x}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 5.3.4.8

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.4.8.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + \frac{4 e^{\frac{x}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 5.3.4.8.2

Divide $e^{\frac{x}{4}}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + e^{\frac{x}{4}} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 5.3.5

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + e^{\frac{x}{4}} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 5.3.6

Suma $- 1 + e^{\frac{x}{4}}$ y $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + e^{\frac{x}{4}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 5.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + e^{\frac{x}{4}}}{2 x}$

Paso 6

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1 + e^{\frac{x}{4}}}{x}$

Paso 7

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 7.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 7.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} - 1 + e^{\frac{x}{4}}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 7.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 7.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 7.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{4}}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 7.1.2.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{4}}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 7.1.2.1.3

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 1 + e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{4}}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 7.1.2.1.4

Mueve el término $\frac{1}{4}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 1 + e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 7.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 1 + e^{\frac{1}{4} \cdot 0}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 7.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.2.3.1.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 1 + e^{0}}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 7.1.2.3.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 1 + 1}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 7.1.2.3.2

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 7.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Paso 7.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Paso 7.2

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 + e^{\frac{x}{4}}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1 + e^{\frac{x}{4}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 7.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1 + e^{\frac{x}{4}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 7.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- 1 + e^{\frac{x}{4}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 7.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 7.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{4}}]$ .

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Paso 7.3.4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \frac{x}{4}$ .

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Paso 7.3.4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 7.3.4.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 7.3.4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + e^{\frac{x}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 7.3.4.2

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 7.3.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 7.3.4.4

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + e^{\frac{x}{4}} \frac{1}{4}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 7.3.4.5

Combina $e^{\frac{x}{4}}$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 7.3.5

Suma $0$ y $\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 7.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}}{1}$

Paso 7.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{\frac{x}{4}}}{4} \cdot 1$

Paso 7.5

Multiplica $\frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{\frac{x}{4}}}{4}$

Paso 8

Evalúa el límite.

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Paso 8.1

Mueve el término $\frac{1}{4}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{4} lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{4}}$

Paso 8.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{4} e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{4}}$

Paso 8.3

Mueve el término $\frac{1}{4}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{4} e^{\frac{1}{4} lim_{x \to 0} x}$

Paso 9

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{4} e^{\frac{1}{4} \cdot 0}$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Multiplica $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2} \cdot \frac{1}{4} e^{\frac{1}{4} \cdot 0}$

Paso 10.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4} e^{\frac{1}{4} \cdot 0}$

Paso 10.2

Multiplica $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{6 \cdot 4} e^{\frac{1}{4} \cdot 0}$

Paso 10.2.2

Multiplica $6$ por $4$ .

$\frac{1}{24} e^{\frac{1}{4} \cdot 0}$

Paso 10.3

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $0$ .

$\frac{1}{24} e^{0}$

Paso 10.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{24} \cdot 1$

Paso 10.5

Multiplica $\frac{1}{24}$ por $1$ .

$\frac{1}{24}$